Thème : ARITHMETIQUE

Série concernée : TOUTES SERIES

Enoncé

Partie A : Questions préliminaires
On considère trois entiers deux à deux distincts et compris entre 1 et 9.

1. Quelle est la plus petite valeur possible pour leur somme ?
2. Quelle est la plus grande valeur possible pour leur somme ?

Partie B : Les triangles magiques
On place tous les nombres entiers de 1 à 9 dans les neuf cases situées sur le pourtour d’un triangle, comme indiqué sur la figure ci-dessous.

Si les sommes des quatre nombres situés sur chacun des trois côtés du triangle ont la même valeur, on dit que le triangle est S-magique.
(C’est-à-dire si
) On se propose de déterminer toutes les valeurs possibles de .

1. Compléter le triangle suivant de sorte qu’il soit 20-magique, c’est-à-dire -magique de somme .

 

 

2. On considère un triangle -magique et on appelle la somme des nombres placés sur les trois sommets.
1. Prouver qu’on a .
2. Prouver qu’on a .
3. Donner la liste des couples ainsi envisageables.
3. Proposer un triangle -magique.
4. Prouver qu’il n’existe pas de triangle -magique.
5. 1. Montrer que dans un triangle -magique, 7 est nécessairement situé sur un sommet du triangle.
   2. Proposer un triangle -magique.
6. Prouver que, s’il existe un triangle -magique, alors il existe aussi un triangle -magique.
7. Pour quelles valeurs de existe-t-il au moins un triangle -magique ?

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