- 8 septembre 2010 -

Pierre GRIHON ^[1]

L’expérience des urnes de Polya est intéressante pour au moins quatre raisons :
 Elle est très simple à décrire,
 On peut en étudier les premiers résultats avec très peu de connaissances en probabilité,
 On peut la simuler facilement et conjecturer des résultats rapidement,
 Elle offre des développements et des applications étonnants.

On peut commencer à l’étudier en seconde, prolonger en première et terminale.
Les notations adoptées sont celles de terminale, mais on peut les adapter pour les niveaux précédents.

Ce sujet a été proposé dans le cadre d’un atelier Math en Jeans à des élèves de seconde et de première.
Une partie de cet article est issue de leur travail.  

George (György) Pólya est né à Budapest (Hongrie) le 13 décembre 1887 et mort à Palo Alto (États-Unis) le 7 septembre 1985. En construisant ce modèle d’urne, sa motivation était, semble-t-il, d’étudier les phénomènes de contagion lors d’une épidémie.

SOMMAIRE

 L’expérience et les premiers résultats.
 Lois de probabilités et conséquences
 Simulations
 Convergences
 Applications

1. L’expérience de l’urne de Polya

On considère une urne contenant au départ a boules blanches et b boules rouges. On tire une boule de l’urne et on la remet avec une autre boule de la même couleur ; on a donc maintenant a+b+1 boules. On recommence un certain nombre de fois l’opération qui consiste à tirer une boule de l’urne et à la remettre avec une autre boule de la même couleur. On cherche à déterminer l’évolution de la proportion de boules blanches dans l’urne.

On note le nombre de boules blanches dans l’urne au bout de n tirages. On a donc .

a) Commençons par le cas .

On a immédiatement la loi de  :

À l’aide d’un arbre, on peut trouver les lois de et .

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[1] Lycée Montaigne-BORDEAUX