\documentclass[10pt]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{tabularx} \usepackage{slashbox} \usepackage{textcomp} \usepackage{multicol} \usepackage{multirow} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-node} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \setlength{\voffset}{-2,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} %\makeatletter%graduations décimales %\def\pshlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil} %\def\psvlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil} %\def\LabelVirgule#1.#2.#3\@nil{% %\ifx#1\@emptyO\else#1\fi %\ifx#2\@empty\else,#2\fi} %\makeatother \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\small A. P. M. E. P.} \lhead{\small L'intégrale 2009} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge \textbf{\gray \decofourleft~Brevet 2009 \decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale de septembre 2008 \\à juin 2009}} \end{center} \vspace{1cm} {\Large \hyperlink{Antillessep}{Antilles--Guyane septembre 2008} \dotfill 3 \medskip \hyperlink{Francesep}{France septembre 2008} \dotfill 5 \medskip \hyperlink{Polynesiesep}{Polynésie septembre 2008} \dotfill 9 \medskip \hyperlink{AmeriqueSud}{Amérique du Sud novembre 2007} \dotfill 13 \medskip \hyperlink{Caledo1}{Nouvelle--Calédonie décembre 2008 } \dotfill 16\medskip \hyperlink{Caledo2}{Nouvelle--Calédonie mars 2009} \dotfill 21 \medskip \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry avril 2009} \dotfill 25 \medskip \hyperlink{AmeriqueNord}{Amérique du Nord juin 2009} \dotfill 29 \medskip \hyperlink{Liban}{Liban juin 2009} \dotfill 33 \medskip \hyperlink{Antilles}{Antilles--Guyane juin 2008} \dotfill 37 \medskip \hyperlink{Asie}{Asie juin 2009} \dotfill 42 \medskip \hyperlink{Etranger}{Centres étrangers juin 2009} \dotfill 46 \medskip \hyperlink{EtrangerII}{Centres étrangers II juin 2009} \dotfill 50 \medskip %\hyperlink{Franceinter}{Madagascar juin 2009} \dotfill 44 \medskip \hyperlink{Metropole}{Métropole, La Réunion juin 2009} \dotfill 55 \medskip \hyperlink{Polynesie}{Polynésie juin 2009} \dotfill 60 \medskip} \newpage ~ \newpage %%%%%%%%%%%%% Antilles--Guyane septembre 2008 %%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Antillessep}{} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small{septembre 2008}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Brevet des collèges Antilles--Guyane ~\decofourright\\ septembre 2008}} \vspace{1cm} \textbf{Durée : 2 heures} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{enumerate} \item A $ = \dfrac{2}{13} - \dfrac{5}{13} : \dfrac{10}{16}$. Calculer A en donnant le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. \item B $ = \dfrac{5 \times 10^{-7} \times 39 \times 10^4 }{1,3 \times 10^{-5}}$. \begin{enumerate} \item Calculer B sous forme décimale. \item Donner le résultat sous la forme d'une écriture scientifique. \end{enumerate} \item C $ = 5\sqrt{12}+ \sqrt{27} - 10\sqrt{3}$. Écrire C sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont deux nombres entiers. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2} \medskip Voici les effectifs et les salaires des employés d'une Petite et Moyenne Entreprise (PME). \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Catégorie &Ouvrier simple&Ouvrier qualifié&Cadre moyen&Cadre supérieur& Dirigeant\\ \hline Effectif &50 &25 &15 &10 &2 \\ \hline Salaire en euros&950 &\nombre{1300} &\nombre{1700} &\nombre{3500} &\nombre{8000} \\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Quel est l'effectif de cette PME ? \item Calculer le salaire moyen arrondi à l'unité. \item Déterminer l'étendue des salaires. \item Les dirigeants décident une augmentation de 8\:\% du montant du salaire d'un ouvrier simple. Calculer le nouveau salaire de cet ouvrier. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3} \medskip On considère l'expression $\text{D} = (2x + 3)^2 + (x - 5)(2x + 3).$ \begin{enumerate} \item Développer et réduire l'expression D. \item Factoriser l'expression D. \item Résoudre l'équation $\text{D} = 0$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1} Supprimé en conformité avec le nouveau programme \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2} \medskip \begin{enumerate} \item Construire un triangle PQR rectangle en P et tel que PR = 6~cm, QR = 7,5~cm. \item Montrer par le calcul que PQ = 4,5~cm . \item Sur la demi-droite [PR), placer le point O tel que PO = 10,8~cm. Sur la demi-droite [PQ), placer le point L tel que PL = 8,1~cm. \begin{enumerate} \item Montrer que les droites (RQ) et (OL) sont parallèles. \item Calculer OL. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3} \medskip \begin{enumerate} \item Tracer un cercle $\mathcal{C}$ de diamètre AB = 8~cm, puis placer un point F sur le cercle tel que l'angle $\widehat{\text{BAF}}$ soit égal à 60\degres. \item Montrer que le triangle ABF est rectangle en F. \item Calculer AF. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{PROBLÈME \hfill 12 points} \medskip \begin{enumerate} \item Une séance de cinéma coûte 7,50~euros. Recopier et compléter le tableau. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombre de séances& 0 &1&& \\ \hline Prix en euros&&&30&75\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item On propose aux étudiants une carte d'abonnement de 20~euros qui permet de payer chaque séance 5~euros. Recopier et compléter le tableau. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombre de séances& 0 &1 && \\ \hline Prix en euros avec la carte&&& 40&65\\ \hline \end{tabularx} \medskip On note : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item $x$ le nombre de séances, \item $P(x)$ le prix payé pour $x$ séances au tarif normal, \item $A(x)$ le prix payé pour $x$ séances au tarif abonné. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item Exprimer $P(x)$ en fonction de $x$. \item Exprimer $A(x)$ en fonction de $x$. \item Représenter graphiquement la fonction $P$ et la fonction $A$ sur une feuille de papier millimétré en prenant : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item en abscisse : 1~cm pour 1~séance, \item en ordonnée : 1~cm pour 5~euros. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item Résoudre l'équation : $7,5x = 20 + 5x$. \item En déduire le nombre de séances au-delà duquel il est intéressant de prendre une carte d'abonnement. Expliquer comment on retrouve ce résultat sur le graphique. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% Fin Antilles--Guyane septembre 2008 %%%%%%%%% \newpage %%%%%%%% France La Réunion septembre 2008 %%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Francesep}{} \lfoot{\small{France La Réunion Mayotte}} \rfoot{\small{septembre 2008}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Brevet des collèges France septembre 2008~\decofourright}} \vspace{1cm} \textbf{DurÉe : 2 heures} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1\hfill} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le PGCD de $240$ et $375$. \item Déterminer la fraction irréductible égale à $\dfrac{240}{375}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2\hfill } \medskip \begin{tabular}{|ll|}\hline On considère le programme de calcul :& Choisir un nombre\\ &a) Calculer le carré de ce nombre.\\ &b) Multiplier par 10.\\ &c) Ajouter 25.\\ &Écrire le résultat.\\ \hline \end{tabular} \medskip \begin{enumerate} \item Mathieu a choisi 2 comme nombre de départ et il a obtenu 65. Vérifier par un calcul que son résultat est exact. \item On choisit $\sqrt{2}$ comme nombre de départ. Que trouve-t-on comme résultat ? \item Clémence affirme que si le nombre choisi au départ est un nombre entier pair alors le résultat est pair. A-t-elle raison ? Justifier. \item Margot affirme que le résultat est toujours positif quel que soit le nombre choisi au départ. A-t-elle raison ? Justifier. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3\hfill } \medskip On a posé à des élèves de 3\up{e} la question suivante : \og Est-il vrai que, pour n'importe quelle valeur du nombre $x$, on a : $5x^2 - 10x + 2 = 7x - 4$ ? \fg \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item Léa a répondu: \og Oui, c'est vrai. En effet, si on remplace $x$ par 3, on a : $5 \times 3^2 - 10 \times 3 + 2 = 17$ et $7 \times 3 - 4 = 17$ \fg. \item Myriam a répondu : \og Non, ce n'est pas vrai. En effet, si on remplace $x$ par $0$, on a : $5 \times 0^2 - 10 \times 0 + 2 = 2$ et $7 \times 0 - 4 = -4$ \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Une de ces deux élèves a donné un argument qui permet de répondre de façon correcte à la question posée dans l'exercice. Indiquer laquelle en expliquant pourquoi. \newpage \textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1\hfill } \medskip \parbox{0.45\linewidth}{On considère un cercle de centre A et de rayon 5~cm. Soit [EF] un de ses diamètres, M le point du segment [AE] tel que AM = 4~cm et P un point du cercle tel que MP = 3~cm. \emph{La figure n'est pas en vraie grandeur.}} \hfill \parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(7,7) \pscircle(3.4,3.4){3.4} \psline(7,1)(0,5.85) \psline(0,3.4)(7,3.4)\psline(6.2,1.54)(6.2,3.4) \psline(0,0)(0,7) \uput[ul](0,3.4){F}\uput[ul](0,5.8){T}\uput[d](3.54,3.4){A} \uput[u](6.2,3.4){M}\uput[d](6.2,1.54){P}\uput[ur](6.8,3.4){E} \end{pspicture}} \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle AMP est rectangle en M. \item On trace la tangente au cercle en F ; cette droite coupe la droite (AP) en T. \begin{enumerate} \item Démontrer que les droites (FT) et (MP) sont parallèles. \item Calculer la longueur AT. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2\hfill } \medskip On considère un cercle de centre O et de diamètre [BC] tel que BC = 8~cm. On place sur ce cercle un point A tel que BA = 4~cm. \begin{enumerate} \item Faire une figure en vraie grandeur. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A. \item Calculer la valeur exacte de la longueur AC. Donner la valeur arrondie de AC au millimètre près, \item Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$. \end{enumerate} \item On construit le point E symétrique du point B par rapport au point A. Quelle est la nature du triangle BEC ? Justifier. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{PROBLÈME \hfill 12 points} \medskip \textbf{Partie I} \medskip Une enquête a été réalisée auprès de 170~élèves d'un collège sur l'utilisation du téléphone portable. Voici deux des questions posées dans cette enquête : \begin{center} \fbox{\begin{minipage}{6.5cm} Q1 : Possédez-vous un téléphone portable ? Q2 : Quel abonnement avez-vous ? \end{minipage}} \end{center} \begin{enumerate} \item Résultats obtenus à la question Q1 : possédez-vous un téléphone portable ? \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Réponses & Oui & Non\\ \hline Nombre d'élèves & 125 & 45\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Donner la valeur arrondie â l'unité du pourcentage d'élèves possédant un téléphone portable. \item Peut-on dire que près des trois quarts des élèves de ce collège possèdent un téléphone portable ? \end{enumerate} \item Résultats obtenus à la question Q2 : quel abonnement utilisez-vous ?\\ Les réponses des 125~élèves ayant un téléphone portable sont représentées dans le diagramme ci-dessous : \begin{center} \begin{pspicture}(12,6) \SpecialCoor \rput(6,3){\pscircle(0;0){3cm} \pswedge[fillstyle=crosshatch]{3}{-30}{90} \pswedge[fillstyle=hlines]{3}{90}{205} \pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{3}{205}{260} \pswedge[fillstyle=vlines]{3}{260}{330}} \end{pspicture} \end{center} \rput(2,6){Carte prépayée}\rput(10.5,5){Compte bloqué} \rput(10.5,4.5){1 heure} \rput(7,0.5){Forfait 1 heure} \rput(3,1){Forfait 2 heures} \begin{enumerate} \item 32\:\% des 125~élèves ayant un téléphone portable ont une cade prépayée. Quel est le nombre d'élèves concernés ? \item Déterminer à l'aide du diagramme une valeur approchée du nombre d'élèves ayant un compte bloqué 1~heure. Expliquer la démarche utilisée. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie II} \medskip Sophie, Julie et Marie viennent d'avoir leur premier téléphone portable. \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Julie a un compte bloqué à 20~\euro{} par mois pour une heure de communication (une fois l'heure utilisée, elle ne peut plus téléphoner jusqu'au mois suivant). \item[$\bullet~$] Marie a un forfait à 17~\euro{} par mois qui lui permet de téléphoner 45 minutes et ensuite chaque minute consommée est facturée 0,50 ~\euro. \item[$\bullet~$] Sophie a un abonnement de 10~\euro{} et chaque minute consommée est facturée 0,25~\euro. \end{itemize} Sont représentés sur le graphique de la feuille annexe \begin{itemize} \item le prix payé par Julie chaque mois en fonction de sa consommation, \item le prix payé par Marie chaque mois en fonction de sa consommation. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Parmi les deux tracés F1 et F2, lequel représente le prix payé par Julie ? Parmi les deux tracés F1 et F2, lequel représente le prix payé par Marie ? \item Par lecture graphique, préciser à partir de quelle durée exprimée en minutes le compte bloqué de Julie est moins coûteux que le forfait de Marie. \item \begin{enumerate} \item Si on désigne par $x$ la durée mensuelle en minutes de communication, donner en fonction de $x$ le prix payé chaque mois par Sophie. \item Sur la feuille annexe, représenter graphiquement le prix payé chaque mois par Sophie en fonction de sa consommation. \end{enumerate} \item Le mois dernier, Marie et Sophie ont payé chacune 30~\euro. Laquelle des deux a téléphoné le plus longtemps ? Justifier. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE} \vspace{1cm} \psset{xunit=0.14cm,yunit=0.266cm} \begin{pspicture}(-5,-5)(80,40) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt,gridcolor=orange](0,0)(-5,-5)(80,40) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=5]{->}(0,0)(-5,-5)(80,40) \psline[linewidth=2pt](0,20)(80,20) \psline[linewidth=2pt](0,17)(45,17)(80,34.5) \uput[dl](0,0){O} \uput[u](70,0){Durée en minutes} \rput{90}(2,35){Prix en euros} \uput[u](20,20){T1}\uput[d](20,17){T2} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole septembre 2008 %%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Polynésie septembre 2008 %%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Polynesiesep}{} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{septembre 2008}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Brevet des collèges Polynésie septembre 2008~\decofourright}} \vspace{1cm} \textbf{DurÉe : 2 heures} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \begin{center} Cette page doit être rendue avec la copie \end{center} \textbf{Exercice 1} Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, 3 réponses sont proposées, mais une seule est exacte. Trouver la réponse correcte et écrire le numéro correspondant dans la colonne de droite. \emph{Les détails des calculs ne sont pas demandés sur la copie.} \bigskip \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{2.8cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}p{1.25cm}|}\cline{3-6} \multicolumn{2}{c|}{}&Réponse Numéro 1&Réponse Numéro 2& Réponse Numéro 3& Numéro de la réponse choisie\\ \hline A&\rule[-3mm]{0mm}{10mm} $\dfrac{3}{2} + \dfrac{11}{5}\times \dfrac{15}{2}$ est égal à &$\dfrac{111}{4}$&$18$&$\dfrac{35}{2}$& \\ \hline B&$\dfrac{14 \times 10^7 \times 27 \times 10^{3}}{21 \times 10^2}$ est égal à :& \nombre{1800}&\nombre{18000000}&\nombre{18000}& \\ \hline C& Le nombre $\left(30\sqrt{2}\right)^2$ est égal à :& 60& \nombre{3600}&\nombre{1800}& \\ \hline D& Pour tout nombre $x,{} (5x - 2)^2$ est égal à :&\vspace{0.2cm} {\small $5x^2 -20x+4$}&\vspace{0.2cm}$25x^2 - 4$&\vspace{0.2cm}{\small $25x^2 - 20x + 4$}&\\ \hline E&L'équation $(2x-3) (x +4)=0$ admet pour solutions :&\vspace{0.4cm} $\dfrac{2}{3}$ et $-4$&\vspace{0.4cm}$\dfrac{3}{2}$ et $-4$&\vspace{0.4cm}$-\dfrac{3}{2}$ et $4$& \\ \hline F&Un objet co\^ute \nombre{12000}~F. Son prix augmente de 5\:\%. Quel sera son nouveau prix ?&\vspace{0.8cm}\nombre{12600}~F&\vspace{0.8cm}\nombre{12500}~F&\vspace{0.8cm}\nombre{11 400}~F& \\ \hline G&Une voiture roule à la vitesse de 50 km/h. En combien de temps parcourt-elle 110 kilomètres ?&\vspace{0.8cm} 2h 20 min&\vspace{0.8cm} 2h 12 min&\vspace{0.8cm} 60 min&\\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip Un vendeur possède un stock de 276 cartes postales et de 230 porte-clés. Il veut confectionner des coffrets \og Souvenirs de Tahiti et ses Îles \fg{} de sorte que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] le nombre de cartes postales soit le même dans chaque coffret ; \item[$\bullet~$] le nombre de porte-clés soit le même dans chaque coffret ; \item[$\bullet~$] toutes les cartes postales et porte-clés soient utilisés. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Combien de coffrets contenant chacun 10 porte-clés pourra-t-il confectionner ? Combien de cartes postales contiendra alors chacun des coffrets ? \item \begin{enumerate} \item Calculer ie PGCD de 276 et 230 en détaillant la méthode utilisée. \item Quel nombre maximal de coffrets le vendeur peut-il confectionner ? Combien de porte-clés et de cartes postales contiendra alors chaque coffret ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip \parbox{0.5\textwidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-3,-3)(3,3.5) \pscircle(-0.3,-0.2){2.7} \pspolygon(-3,0)(2.4,-0.42)(-1.35,2.3)(0.8,-2.65)%ABMN \psline(-3,0)(-1.35,2.3) \psline(2.4,-0.42)(0.8,-2.7) \uput[l](-3,0){A} \uput[r](2.4,-0.42){B} \uput[ul](-1.35,2.3){M} \uput[dr](0.8,-2.65){N} \uput[dl](-0.3,-0.2){O} \uput[ur](1.3,2){$\mathcal{C}$} \psarc(-3,0){0.4cm}{-2} {58}\uput[ur](-2.6,0.3){60 \degre} \end{pspicture} }\hfill \parbox{0.45\textwidth}{On considère la figure ci-contre dans laquelle : \begin{itemize} \item[$\bullet~$] AB = 6~cm et $\widehat{\text{BAM}} = 60$ \degre ; \item[$\bullet~$] $\mathcal{C}$ est le cercle de centre O et de diamètre [AB] ; \item[$\bullet~$] AMBN est un rectangle inscrit dans le cercle $\mathcal{C}$. \end{itemize}} \textbf{Cette figure n'est pas en vraie grandeur} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Que représente le cercle $\mathcal{C}$ pour le triangle AMB ? \item Quelle est l'image du point A par la symétrie centrale de centre O ? \item Quelle est l'image du point M par la rotation de centre O, d'angle 120 \degre, dans le sens des aiguilles d'une montre ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant le cosinus de l'angle $\widehat{\text{BAM}}$, calculer AM. \item Combien mesure l'angle $\widehat{\text{BOM}}$ ? Justifier. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip \parbox{0.5\textwidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(4,6) \pspolygon(0.3,5.6)(0.3,1.1)(2.6,0)(3.8,1.1)(3.8,5.65)(2.6,4.6)%BEDFCA \psline(3.8,5.65)(0.3,5.6) \psline[linestyle=dashed](0.3,1.1)(3.8,1.1) \psline(2.6,0)(2.6,4.6) \uput[dr](2.6,4.6){A} \uput[ul](0.3,5.6){B} \uput[ur](3.8,5.65){C} \uput[dr](2.6,0){D} \uput[l](0.3,1.1){E} \uput[r](3.8,1.1){F} \uput[r](3.2,3.4){25} \uput[dl](1.6,5){12} \uput[u](2,5.6){15} \uput[dr](3.2,5.1){9} \end{pspicture}} \hfill \parbox{0.45\textwidth}{\emph{Dans cet exercice, l'unité de longueur est le centimètre.} Un menuisier a fabriqué un objet en bois ayant la forme d'un prisme droit à base triangulaire. Cet objet est représenté par le solide ABCDEF ci-contre tel que : AB = 12 ; AC = 9 ; BC = 15 ; CF = 25. \medskip \fbox{\emph{Cette figure n'est pas en vraie grandeur}}} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A. \item Montrer que l'aire $\mathcal{B}$ du triangle ABC est égale à 54cm$^2$. \item En déduire le volume $\mathcal{V}$ du prisme droit en cm$^3$. (On rappelle que : $\mathcal{V} = \mathcal{B} \times h$ avec $\mathcal{B}$ l'aire de la base en cm$^2$ et $h$ la hauteur du prisme en cm). \item Le menuisier souhaite tailler cet objet en le sectionnant par un plan parallèle à la face BCFE. L'intersection entre ce plan et la base ABC est le segment [MN]. \parbox{0.5\textwidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(0,-1)(6,4.5) \pspolygon(0,0)(5.5,0)(5.5,4.1) \psline(1,0)(5.5,3.4) \uput[dr](5.5,0){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[ur](5.5,4.1){C} \uput[d](1,0){M} \uput[r](5.5,3.4){N} \uput[d](2.75,0){10} \end{pspicture} } \hfill \parbox{0.45\textwidth}{(MN) // (BC)\\ AM = 10\\ AB = 12\\ AC = 9\\ BC = 15\\ \emph{La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur} } Pour faciliter la découpe du bois, le menuisier veut connaître la longueur AN. \begin{enumerate} \item Refaire cette figure en vraie grandeur. \item Calculer AN. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{PROBLÈME \hfill 12 points} \begin{center} \textbf{Une feuille de papier millimétré doit être utilisée et être rendue avec la copie}\end{center} Dans un cinéma, Manutea a le choix entre deux formules : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] 1\up{re} formule : Payer \nombre{1000}~francs par ticket. \item[$\bullet~$] 2\up{e} formule : Acheter une carte de fidélité annuelle à \nombre{2500}~francs, puis payer 700~francs par ticket. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombre de tickets achetés en un an &5 &\\ \hline Prix à payer (en F) avec la 1\up{re} formule & &\nombre{14000}\\ \hline Prix à payer (en F) avec la 2\up{e} formule & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Soit $x$ le nombre de tickets achetés en 1 an. On note F$_{1}$ le prix à payer (en francs) avec la première formule et F$_{2}$ le prix à payer (en francs) avec la deuxième formule. Parmi les quatre fonctions suivantes : \[x \longmapsto x+ \nombre{1000}~ ~;~~ x \longmapsto \nombre{1000}x~~;~~ x \longmapsto 700x + 2 500~~ ;~~x \longmapsto \nombre{2500}x +700\] laquelle correspond à F$_{1}$ ? Laquelle correspond à F$_{2}$ ? \item Si l'on dépense \nombre{16500}~francs avec la deuxième formule, combien de tickets achète-t-on en an ? \item Pendant ces cinq dernières années, Manutea a relevé le nombre de tickets de cinéma qu'il a achetés. Calculer le nombre moyen de tickets achetés par an. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2003 & 2004&2005& 2006 &2007\\ \hline Nombre de tickets achetés&1&8& 20& 12&14\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Manutea compte aller une fois par mois au cinéma cette année. Quelle sera la formule la plus intéressante pour lui ? Justifier. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Dans un repère orthogonal d'origine O, avec O placé en bas à gauche de la feuille de papier millimétré, on prend les unités suivantes \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] en abscisses : 1 cm pour 1 ticket acheté. \item[$\bullet~$] en ordonnées : 1 cm pour \nombre{1000}~francs. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Représenter graphiquement les fonctions $f$ et $g$ définies par : \[\left\{\begin{array}{l c l} f(x)& = &\nombre{1000} x\\ g(x)&=&700x + \nombre{2500}\\ \end{array}\right..\] \begin{center} \textbf{On répondra aux questions 2. à 4. en utilisant le graphique et en faisant apparaître les tracés nécessaires à la lecture graphique.} \end{center} \item Pour 15 tickets de cinéma achetés en une année : Quel est le prix à payer avec la première formule ? \item Avec un budget annuel de \nombre{12000}~F consacré au cinéma ; Combien de tickets peut-on acheter au maximum avec la deuxième formule ? \item Sur une année, à partir de combien de tickets, la deuxième formule devient plus avantageuse que la première formule pour Manutea ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie septembre 2008 %%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%% Amérique du Sud novembre 2008 %%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{AmeriqueSud}{} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small{novembre 2008}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Sud ~\decofourright\\ novembre 2009}} \vspace{1cm} \textbf{Durée : 2 heures} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{enumerate} \item On pose \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} $\text{A} = \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{4}$ ;& $\text{B} = \dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{4}$ &et C $= \dfrac{\text{A}}{\text{B}}$. \end{tabularx} \medskip Écrire le nombre C sous la forme d'une fraction irréductible. \item On pose D $= \left(2^3\right)^2$ ; E = $4^5 \times 3^5$ ; F $ = \dfrac{5^{26}}{5^{17}}$. Écrire sous la forme d'une puissance d'un nombre entier chacun des nombres D, E et F. \item On donne G $= 5\sqrt{32} + \sqrt{18} - 4\sqrt{50}$. Écrire G sous la forme $a\sqrt{2}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2} \medskip \begin{enumerate} \item On pose H $= (x - 4)^2 -x(x - 10)$. \begin{enumerate} \item Développer et réduire H. \item Résoudre l'équation H $= 16$. \end{enumerate} \item On pose $\text{I} = (7x - 3)^2 - 5^2$. \begin{enumerate} \item Factoriser I. \item Résoudre l'équation $\text{I} = 0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3} \begin{enumerate} \item Déterminer le PGCD des nombres \nombre{5148} et \nombre{2431}. \item On pose A $= \dfrac{\nombre{5148}}{\nombre{2431}}$. Écrire A sous la forme d'une fraction irréductible. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \medskip L'exercice \no 1 a été supprimé en conformité avec le nouveau programme. \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip \emph{On donne la figure ci-contre, qui n'est pas en vraie grandeur et qui n'est pas à reproduire.} \medskip Les points M, O et Q sont alignés ainsi que les points N, O et P. Les segments [OM] et [OQ] sont des diamètres des deux cercles tracés ; on donne : OM = 7,5~cm et OQ = 4,5~cm. \begin{enumerate} \item Prouver que le triangle MNO est rectangle en N. \medskip \emph{On admet pour la suite que le triangle OPQ est rectangle en P.} \medskip \item Justifier que les droites (MN) et (PQ) sont parallèles. \item Dans le cas où ON = 5~cm, calculer la distance OP. Justifier. \end{enumerate} \medskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(5,6) \pscircle(3.65,1.22){1.22} \pscircle(1.85,3.65){1.85} \psline(0.9,5.22)(4.4,0.23) \psline(4.4,0.23)(2.6,0.6)(3.52,4.4)(0.9,5.22) \uput[ul](0.9,5.22){M} \uput[ur](3.52,4.4){N} \uput[l](3,2.2){O} \uput[l](2.6,0.6){P} \uput[dr](4.4,0.23){Q} \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{PROBLÈME \hfill 12 points} \medskip \textbf{PREMIÈRE PARTIE} \medskip \emph{Une feuille de papier millimétré est nécessaire.\\ On rappelle que la longueur d'un cercle de rayon $R$ est $2\pi R$, que l'aire d'un disque de rayon $R$ est $\pi R^2$.\\ La figure 1 ci-dessous n'est pas en vraie grandeur ; elle a été réalisée à partir des indications suivantes :} \medskip \parbox{0.55\linewidth}{Deux cercles de centre O et O$'$ se coupent en deux points A et B. Le triangle OAB est rectangle en O et AB~=~8~cm. Le triangle ABO$'$ est équilatéral. \begin{enumerate} \item En commençant par le triangle AOB, tracer cette figure en vraie grandeur sur une feuille de papier millimétré. \item Montrer que le segment [OA] mesure $4\sqrt{2}$~cm. Montrer que l'arc de cercle de centre O, de rayon OA, représenté sur la figure 1, mesure $6\pi \sqrt{2}$~cm. \item Choisir parmi les quatre nombres suivants celui qui est égal, en centimètres, à la longueur de l'arc de cercle de centre O$'$, de rayon O$'$A, représenté sur la figure 1. Aucune justification n'est demandée. \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(6,9) \pscircle(2.3,3){2.3} \psarc(2.3,6.2){1.7}{-45}{225} \pspolygon[linestyle=dashed](3.5,5)(2.3,3)(1.15,5)(2.3,6.2) \psline[linestyle=dashed](1.15,5)(3.5,5) \uput[u](2.3,6.2){O} \uput[d](2.3,3){O$'$} \uput[l](1.15,5){A} \uput[r](3.5,5){B} \rput{-135}(2.3,6.2){\psframe(0.3,0.3)} \rput(2.3,0.5){Figure 1} \uput[d](2.3,5){8} \end{pspicture}} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.}\quad $\dfrac{8\pi}{3}$&\textbf{b.}\quad $\dfrac{16\pi}{3}$&\textbf{c.}\quad $\dfrac{40\pi}{3}$&\textbf{d.}\quad $16\pi$ \end{tabularx} \newpage \textbf{DEUXIÈME PARTIE} \medskip \parbox{0.55\linewidth}{On complète la figure 1 pour obtenir la figure 2 ci-contre. Les arcs de cercle tracés permettent d'obtenir une lentille (hachurée sur la figure) dont on souhaite calculer l'aire. \begin{enumerate} \item Soit H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OAB. Montrer que OH = 4~cm. \emph{On admet pour la suite que} $\text{O}'\text{H} = 4\sqrt{3}$~cm. \item Calculer l'aire des triangles AOB et AO$'$B. \item En remarquant que le secteur d'angle $\widehat{\text{AOB}}$ est un quart du disque de centre O, calculer l'aire de ce secteur. En déduire l'aire exacte de la partie inférieure de la lentille puis en donner l'arrondi au cm$^2$. \item Proposer une méthode pour calculer l'aire totale de la lentille. \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(6,9) \pscircle(2.3,3){2.3} \pscircle(2.3,6.2){1.7} \pspolygon(3.5,5)(2.3,3)(1.15,5)(2.3,6.2) \psline(1.15,5)(3.5,5) \psline(2.3,0.75)(2.3,8.2) \uput[u](2.3,6.2){O} \uput[d](2.3,3){O$'$} \uput[l](1.15,5){A} \uput[r](3.5,5){B} \rput{-135}(2.3,6.2){\psframe(0.3,0.3)} \pscustom[fillstyle=vlines]{ \psarc(2.3,6.2){1.7}{225}{-45} \psarc(2.3,3){2.3}{60}{120} } \rput(2.3,0.5){Figure 2} \uput[dl](2.3,5){H} \psframe(2.3,5)(2.5,5.2) \end{pspicture}} %%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Sud novembre 2008 %%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie décembre 2008 %%%%%%%%%%% \hypertarget{Caledo1}{} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{9 décembre 2008}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 2 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Diplôme national du Brevet Nouvelle--Calédonie~\decofourright}}\\ {\Large \textbf{\gray 9 décembre 2008 }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{I -- ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q. C. M. ) donné à la dernière page. Pour chacune des cinq questions, vous aurez trois réponses possibles dont une seule est exacte. \textbf{Vous répondrez sur la feuille donnée en annexe} en entourant distinctement la réponse qui vous paraît la bonne. Aucune justification n'est demandée. Il ne sera enlevé aucun point en cas de mauvaise réponse. \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}} \medskip \[E = (2x - 3)^2 + (2x - 3)(x + 8)\] \begin{enumerate} \item Développer puis réduire l'expression algèbrique $E$. \item Factoriser l'expression algèbrique $E$. \item Calculer l'expression $E$ quand $x = \dfrac{3}{2}.$ \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}} \emph{Dans la question $1$ de cet exercice toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}. \begin{enumerate} \item Un propiétaire terrien a vendu le quart de sa propriété en 2006 puis le tiers du reste en 2007. Quelle fraction de sa propriété lui reste-t-il aujourd'hui ? \item Quelle est la superficie actuelle de sa propriété sachant qu'elle était au départ de 40~hectares ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{II -- ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip On donne la figure ci-après dans laquelle les dimensions ne sont pas respectées. On ne demande pas de refaire la figure. L'unité de longueur est le centimètre. \medskip \parbox{0.4\linewidth}{Les points A, B et E sont alignés, ainsi que les points C, B et D. BA = 9,3 ; BC = 15,5 ; BD = 13,5 ; BE = 8,1 et DE = 10,8. Les droites (AC) et (DE) sont parallèles.}\hfill \parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6.5,5) \pspolygon(0.6,0)(6.4,1.6)(2.5,4.2)%CBA \psline(1.75,0.32)(3.22,3.73)%DE \uput[l](2.5,4.2){A} \uput[ur](6.4,1.6){B} \uput[ul](0.6,0){C} \uput[dr](1.75,0.32){D} \uput[ur](3.22,3.73){E} \end{pspicture}} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la longueur AC. Justifier. \item Démontrer que le triangle BDE est un triangle rectangle en E. \item Sans faire de calcul, démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle. \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}} \medskip \emph{Sur le schéma donné en annexe, un bateau est tombé en panne de moteur à l'approche d'une passe.} \emph{Il n'est plus soumis qu'aux forces conjuguées du vent et du courant teprésentées par les vecteurs} $\vect{\text{VE}}$ \emph{et} $\vect{\text{CO}}$. \medskip \emph{Toutes les constructions de cet exercice seront à faire sur l'annexe de la dernière page que vous devrez rendre avec votre copie.} \begin{enumerate} \item Construire le point A tel que $\vect{\text{GA}} =\vect{\text{VE}}$. \item Construire le point B tel que $\vect{\text{GB}} =\vect{\text{CO}}$. \item Construire le point T tel que $\vect{\text{GT}} =\vect{\text{GA}} + \vect{\text{GE}}$. \item \begin{enumerate} \item Tracer la demi-droite[GT) qui indique la trajectoire de la dérive du bateau. \item Cette embarcation va-t-elle s'échouer sur le récif ? \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{I -- PROBLÈME \hfill 12 points} \vspace{0.5cm} Fanny et Franck vont à Koumac. Franck part de Nouméa et Fanny part de Tontouta. Les communes de Nouméa, Tontouta, La Foa et Koumac sont situées dans cet ordre, sur une même route, la RT1, comme le représente le schéma ci-dessous qui n'est pas à l'échelle. \medskip \psset{unit=0.9cm} \begin{pspicture}(12,1.8) \psline(0,0.9)(12,0.9) \psline(0.4,0.7)(0.4,1.1) \psline(3.4,0.7)(3.4,1.1) \psline(6.3,0.7)(6.3,1.1) \psline(12,0.7)(12,1.1) \uput[u](0.4,0.9){Nouméa} \uput[u](3.4,0.9){Tontouna} \uput[u](6.3,0.9){La Foa} \uput[u](12,0.9){Koumac} \end{pspicture} \medskip Le tableau ci-dessous indique la distance de Nouméa à ces villes en kilomètre. \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Commune&Tontouna&La Foa&Koumac\\ \hline Distance de Nouméa en kilomètre&50&110&365\\ \hline \multicolumn{4}{r}{Source : \emph{Country guide \fg{} Le petit futé \fg}} \end{tabularx} \end{center} Fanny et Franck partent en même temps. Ils font une pause au bout de deux heures de trajet comme le recommande la sécurité routière : \og \emph{toutes les deux heures, la pause s'impose ! }\fg. \medskip \textbf{Les parties 1 et 2 sont indépendantes et peuvent être traitées dans l'ordre que vous souhaitez.} \medskip \textbf{Partie 1 : Le trajet de Fanny et Franck avant leur pause} \textbf{Dans cette partie, tous les résultats doivent être justifiées par des calculs.} \medskip Fanny roule à la vitesse moyenne de 70~km/h. Franck roule à la vitesse moyenne de 85~km/h. Ainsi après avoir roulé une heure, Fanny est à à 70~km de Tontoura sur la RT1 direction Koumac, et Franck est à 85~km de Nouméa sur la RT1 direction Koumac. \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi au bout d'une heure, Fanny est à 120~km de Nouméa. \item À combien de kilomètres de Nouméa se trouve Fanny au bout de deux heures de trajet ? \item Au bout de combien de temps Franck se trouve-t-il à la Foa ? Exprimer la durée, en heure, arrondie au dixième. \item On note $x$ la durée du voyage exprimée en heure (avant la pause : $0 \leqslant x \leqslant 2$ On note $f(x)$ la distance qui sépare Fanny de Nouméa et $g(x)$ celle quii sépare Franck de Nouméa. Exprimer $f(x)$ puis $g(x)$ en fonction de $x$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie 2 : interprétation du graphique donné à l'avant-dernière page} \medskip \textbf{Par simple lecture du graphique, répondre aux questions suivantes :} \begin{enumerate} \item Quel tracé (T$_{1}$ ou T$_{2}$) correspond au trajet de Fanny ? Au trajet de Franck ? Justifier. \item Combien de temps dure la pause de Fanny et Franck ? \item \begin{enumerate} \item Au bout de combien de temps Franck rattrape-t-il Fanny ? \item À combien de kilomètres de Nouméa se trouvent-ils à ce moment-là ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \psset{xunit=2.4cm,yunit=0.043cm} \begin{pspicture}(-0.25,-20)(4.75,440) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=20]{->}(0,0)(-0.25,-20)(4.75,440) \multido{\n=-0.250+0.125}{39}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.2pt](\n,-20)(\n,440)} \multido{\n=-20+10}{45}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.2pt](-0.25,\n)(4.75,\n)} \uput[dl](0,0){O} \psline(0,0)(2,170)(2.25,170)(4.25,340)(4.5,361.25) \psline(0,50)(2,190)(2.25,190)(4.25,340)(4.5,357.5) \uput[dr](0.5,40){T$_{1}$} \uput[ul](0.5,80){T$_{2}$} \uput[dr](4.25,340){A} \uput[d](4,-10){Temps en heure} \rput{90}(0.25,400){Distance en km} \end{pspicture} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE à rendre avec la copie} \vspace{1cm} \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES : exercice 1} \vspace{0,5cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-5} \multicolumn{2}{c|}{}&\multicolumn{3}{|c|}{Réponses proposées}\\ \hline \textbf{1.}&\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{3}$ est égal à &$- \dfrac{1}{2}$&$\dfrac{1}{12}$&$1$\\ \hline \textbf{2.}&\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\sqrt{18} - \sqrt{8}$ est égal à &$\sqrt{2}$&$\sqrt{10}$&$5\sqrt{2}$\\ \hline \textbf{3.}&\rule[-3mm]{0mm}{9mm} L'équation $4x - 3 = 7x + 6$ a pour solution&3&$\dfrac{9}{11}$&$-3$\\ \hline \textbf{4.}&\rule[-3mm]{0mm}{9mm} $\dfrac{3 \times 10^{-2}}{6 \times 10^{-3}}$ est égal à &5&\nombre{0,000005}&0,2\\ \hline \textbf{5.}&\rule[-3mm]{0mm}{9mm} L'équation $(2x - 3)(3x + 5)$ a pour solution&$-\dfrac{3}{2}$ et $\dfrac{5}{3}$&$\dfrac{2}{3}$ et $-\dfrac{3}{5}$&$\dfrac{3}{2}$ et $-\dfrac{5}{3}$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \vspace{2cm} \textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES : exercice 2} \bigskip \psset{xunit=0.75cm,yunit=1cm} \begin{pspicture}(16,7) \pscurve(0,3.1)(1,3.4)(2,3.65)(3,3.9)(4,4.05)(5,4.25)(6,4.5)(7,4.65)(7.6,4.8)(7,5.05)(6,5.2)(5,5.1)(4,4.8)(3,4.6)(2,4.65)(1,4.5)(0,4.3) \pscurve(15,5.75)(14,5.5)(13,5.25)(12,5.05)(11,5)(10,4.9)(9.5,5.3)(10,5.4)(11,5.7)(12,6)(13,6.3)(14,6.4)(15,6.7) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(3.3,0.2)(3,2.5) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(12.5,0.7)(14.1,2.6) \psline(6.5,1)(6.9,0.15)(7.35,0.3)(6.95,1.15) \pscurve(6.95,1.15)(6.8,1.4)(6.5,1.45)(6.5,1) \uput[l](3.3,0.2){V} \uput[l](3,2.5){E} \uput[ul](14.1,2.6){O} \uput[ul](12.5,0.7){C}\uput[r](3.1,1.45){Vent} \rput(14.2,1.5){Courant} \rput(3.5,4.3){Récif} \rput(13,5.6){Récif}\rput(8.6,5){Passe} \psline(7,0.4)(7.15,0.46)(7,0.8)\pscurve(7,0.8)(6.7,1.2)(6.67,1)(6.8,0.7)(7,0.4) \rput(6.85,0.8){$\times$} \rput(6.2,0.7){G} \end{pspicture} %%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie décembre 2008 %%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie mars 2009 %%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Caledo2}{} \lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}} \rfoot{\small{mars 2009}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large \textbf{\gray \decofourleft~Brevet Nouvelle--Calédonie mars 2009 \decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES} \hfill 12 points} \textbf{Commun à tous les candidats} Tous les calculs et toute trace de recherche, même incomplète, doivent figurer sur la copie. \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 :} \medskip On considère le programme de calcul ci-dessous. \begin{center} \fbox{\begin{minipage}{7cm}Programme de calcul : $\bullet~$ Choisir un nombre de départ $\bullet~$ Ajouter 1 $\bullet~$ Calculer le carré du résultat obtenu $\bullet~$ Lui soustraire le carré du nombre de départ $\bullet~$ Écrire le résultat final. \end{minipage}} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que lorsque le nombre de départ est 1, on obtient 3 au résultat final. \item Lorsque le nombre de départ est 2, quel résultat final obtient-on ? \item Le nombre de départ étant x, exprimer le résultat final en fonction de $x$. \end{enumerate} \item On considère l'expression $P = (x + 1)^2 - x^2$. Développer puis réduire l'expression P. \item Quel nombre de départ doit-on choisir pour obtenir un résultat final égal à 15 ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 :} \medskip Le tableau ci-dessous indique des grandeurs physiques et démographiques des pays et territoires constituant la Mélanésie en 2005. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Pays et territoires de Mélanésie& Superficie terrestre (en km$^2$)& Densité en 2005 (nombre d'habitants par km$^2$)\\ \hline Iles Fidji& \nombre{18 272}& 45\\ \hline Iles Salomon& \nombre{28 370}& 17\\ \hline Nouvelle-Calédonie& \nombre{18 576}& 13\\ \hline Papouasie-Nouvelle-Guinée& \nombre{462 840}& 13\\ \hline Vanuatu& \nombre{12 190}& 18\\ \hline \multicolumn{3}{c}{Source : \emph{Institut de la Statistique et des Études Économiques.}} \\ \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la superficie terrestre totale de la Mélanésie ? \item Quel pourcentage de la superficie totale représente la superficie de la Nouvelle-Calédonie ? Donner le pourcentage obtenu arrondi au dixième près. \item Calculer le nombre d'habitants en Nouvelle-Calédonie en 2005. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 :} \medskip \begin{enumerate} \item Justifier sans calcul que $850$ et $714$ ne sont pas premiers entre eux. \item \begin{enumerate} \item Déterminer par la méthode de votre choix, en détaillant les différentes étapes, le PGCD de 850 et 714. \item En déduire la fraction irréductible égale à $\dfrac{850}{714}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1 :} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).} \emph{Aucune justification n'est demandée.} \emph{Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule réponse est exacte.} \emph{ Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.} \medskip \textbf{Pour chacune des cinq questions, indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte.} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{6cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \textbf{1.}&Si $\tan x = 54$ alors la valeur approchée de $x$ arrondie au degré près est égale à : &1\degres& 88\degres &89\degres\\ \hline \textbf{2.}& \psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(3,2) \pspolygon(0,0)(1.5,0)(0.75,1.999) \psline(1.5,0)(3,0) \psarc(1.5,0){0.3cm}{0}{116} \uput[ur](1.7,0.2){103\degres} \psarc(0.75,1.999){0.3cm}{-116}{-64} \rput(4,1.5){La valeur de} \rput(4,1){$a$ est égale à :} \rput[d](0.75,1.5){$a$} \psline(0.3,1.1)(0.5,0.9) \psline(1.1,0.9)(1.3,1.1)\end{pspicture} &77\degres& 36\degres &26\degres\\ \hline \textbf{3.}& Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, les coordonnées des points A et B sont : A$(3 ~;~ -2)$ et B$(-1 ~;~ -1)$. La distance AB est exactement égale à :& $\sqrt{17}$& 4,123 & $\sqrt{13}$\\ \hline \textbf{4.}& Une petite sphère a pour rayon $r$. Une grande sphère a pour rayon $R$, tel que $R = 3r$. Soient $v$ le volume de la petite sphère et $V$ le volume de la grande sphère. \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6,4)\pscircle(0.75,2){0.75} \pscircle(3.5,2){1.8} \psline(0.75,2)(1.5,2) \psline(3.5,2)(5.3,2) \psellipse[linestyle=dashed](0.75,2)(0.75,0.25) \psellipse[linestyle=dashed](3.5,2)(1.8,0.6) \uput[u](1.25,2){$r$} \uput[u](4.4,2){$R$} \end{pspicture} Quelle égalité est vraie ? &\rule[-70pt]{0mm}{5mm} $V = 3v$&\rule[-70pt]{0mm}{5mm} $V = 9v$ &\rule[-70pt]{0mm}{5mm} $V = 27v$\\ \hline \textbf{5.}&\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(0,-0.5)(4,2) \pspolygon(0.2,0)(2.2,0)(2.2,1.5) \uput[d](1.2,0){4}\uput[r](2.2,0.75){3}\uput[ul](1.1,0.7){5} \rput(4,0.75){$\dfrac{3}{5}$ est égal à :} \psarc(0.2,0){3mm}{0}{40} \uput[ur](0.6,0){$y$} \end{pspicture}&$\sin y$& $\cos y$& $\tan y$\\ \hline \end{tabularx} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 :} \medskip \emph{La figure qui suit n'est pas en vraie grandeur. Il n'est pas demandé de la reproduire. L'unité est le centimètre.} \medskip Le point B appartient au segment [DE] et le point A au segment [CE]. On donne : ED = 9 ; EB = 5,4 ; EC = 12 ; EA = 7,2 ; CD = 15 \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7,5) \pspolygon(0,0)(8.2,0)(3,4) \uput[dl](0,0){D} \uput[dr](8.2,0){C} \uput[u](3,4){E} \psline(1.48,2)(5.6,2) \uput[l](1.48,2){B} \uput[r](5.6,2){A} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. \item Calculer la longueur du segment [AB]. \item Montrer que les droites (CE) et (DE) sont perpendiculaires. \item \begin{enumerate} \item Calculer la valeur arrondie au degré près de l'angle $\widehat{\text{ECD}}$. \item En déduire, sans faire de calcul, celle de l'angle $\widehat{\text{EAB}}$. Justifier. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{PROBLÈME \hfill 12 points} \medskip Les parties A et B sont indépendantes. \medskip \textbf{PARTIE A} \medskip Dans un magasin de location, le gérant a comptabilisé le nombre de DVD loués au cours d'une semaine et il a obtenu les résultats consignés dans le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{1.15cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-8} \multicolumn{1}{p{1.15cm}|}{}&\small Lundi&\small Mardi&\small Mercredi&\small Jeudi&\small Vendredi&\small Samedi& {\small Dimanche}\\ \hline Nombre de DVD loués& 19& 15& 16& 14& 20& 74& 52\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Quel est le nombre total de DVD loués sur la semaine entière ? \item Calculer le nombre moyen de DVD loués par jour durant cette semaine. \item Calculer le pourcentage de DVD loués pendant le week-end (samedi et dimanche) par rapport à la semaine entière. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{PARTIE B} \medskip Dans un magasin de location de DVD, on propose à la clientèle deux formules : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Tarif plein : 500~F par DVD loué. \item[$\bullet~$] Tarif abonné : 2 000 F pour l'achat d'une carte d'abonné, puis 300 F par DVD loué . \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \emph{On note $x$ le nombre de DVD loués, $P(x)$ le prix payé au tarif plein et $A(x)$ le prix payé au tarif abonné.} \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombre de DVD loués : $x$& 2& 5& 8& 12\\ \hline Prix payé avec le tarif plein : $P(x)$ en Franc.&& \nombre{2500}&&\\ \hline Prix payé avec le tarif abonné : $A(x)$ en Franc.&&&\nombre{4400}&\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item \emph{On admettra que $P$ est une fonction linéaire, $A$ est une fonction affine, et donc que leurs représentations graphiques sont des droites.} Représenter dans un repère orthogonal les deux tarifs en fonction du nombre de DVD loués. (on placera l'origine du repère en bas à gauche, on prendra 1~cm pour 1 DVD loué en abscisse et 2~cm pour \nombre{1000}~F en ordonnée) \item En utilisant le graphique : donner le nombre de DVD pour lequel le prix est le même dans les deux tarifs puis, préciser le tarif le plus avantageux en fonction du nombre de DVD loués. \item \begin{enumerate} \item Exprimer $P(x)$ et $A(x)$ en fonction de $x$. \item Retrouver par le calcul le nombre de DVD pour lequel le prix est le même quelle que soit la formule choisie. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie mars 2009 %%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%% Pondichéry avril 2009 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Pondichery}{} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small avril 2009} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large{ \textbf{\gray \decofourleft~Brevet des collèges ~\decofourright\\ Pondichéry avril 2009}}} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{Activités numériques} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1} } \medskip \begin{enumerate} \item Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible : A =$\dfrac{7}{15} - \dfrac{4}{15} \times \dfrac{5}{8}$ \item B $ = 3\sqrt{2} - \sqrt{98}$ \begin{enumerate} \item Donner la valeur arrondie au centième de B. \item Écrire B sous la forme $a\sqrt{2}$ où $a$ est un entier. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}} \medskip \begin{enumerate} \item $-2$ est-il solution de l'inéquation : $3x +12 < 4 - 2x$ ? Justifier. \item $-2$ est-il solution de l'équation : $(x - 2)(2x + 1) = 0$ ? Justifier. \item $-2$ est-il solution de l'équation: $x^3 + 8 = 0$ ? Justifier. \item Le couple $(-2~;~1)$ est-il solution du système $\left\{\begin{array}{l c l} 2x + 3y&=&-1\\ x+5y&=&3\\ \end{array}\right.$ ? Justifier. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} } \begin{enumerate} \item Déterminer le PGCD de 238 et 170 par la méthode de votre choix. Faire apparaître les calculs intermédiaires. \item En déduire la forme irréductible de la fraction $\dfrac{170}{238}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} } Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées. Une seule est exacte. Chaque réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point. \emph{Pour chacune des trois questions, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte.} \textbf{Énoncé :} \medskip Un sac contient six boules: quatre blanches et deux noires. Ces boules sont numérotées : Les boules blanches portent les numéros 1 ; 1 ; 2 et 3 et les noires portent les numéros 1 et 2. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(4,1.8) \pscircle(0.4,1.5){0.3} \rput(0.4,1.5){1} \pscircle(1.2,1.6){0.3} \rput(1.2,1.6){2} \pscircle(1.3,0.5){0.3} \rput(1.3,0.5){1} \pscircle(2.1,1.2){0.3} \rput(2.1,1.2){ 3} \pscircle*(2.9,1.5){0.3} \rput(2.9,1.5){\white 1} \pscircle*(3,0.6){0.3} \rput(3,0.6){\white 2} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|p{4,75cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Numéro& Question&Réponse A&Réponse B&Réponse C\\ \hline 1&Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ?& \rule[3pt]{0mm}{5mm}$\dfrac{2}{3}$&$\dfrac{6}{4}$&4\\ \hline 2&Quelle est la probabilité de tirer une boule portant le numéro 2 ?&\rule[3pt]{0mm}{5mm}$\dfrac{1}{4}$&$\dfrac{1}{6}$&$\dfrac{1}{3}$\\ \hline 3& Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche numérotée 1 ?&\rule[3pt]{0mm}{5mm}$\dfrac{1}{3}$&$\dfrac{2}{4}$&$\dfrac{3}{6}$ \\ \hline \end{tabularx} \vspace{1cm} \textbf{Activités géométriques} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} } \medskip \parbox{0.6\linewidth}{On considère une bougie conique représentée ci-contre. (\emph{la figure n'est pas aux dimensions réelles.}) Le rayon OA de sa base est 2,5 cm. La longueur du segment [SA] est 6,5 cm.} \hfill \parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-2,-1)(2,5) \psellipse(0,0)(1.5,0.5) \psline(-1.5,0)(0,4.8)(1.5,0) \psline(-0.7,-0.4)(0,4.8) \psline[linestyle=dashed](-0.7,-0.4)(0,0)(0,4.8) \uput[r](0,0){O} \uput[dl](-0.7,-0.4){A} \uput[u](0,4.8){S} \end{pspicture}} \begin{enumerate} \item Sans justifier, donner la nature du triangle SAO et le construire en vraie grandeur. \item Montrer que la hauteur SO de la bougie est 6~cm. \item Calculer le volume de cire nécessaire à la fabrication de cette bougie; on donnera la valeur arrondie au dixième de cm$^3$ ? \item Calculer l'angle $\widehat{\text{ASO}}$ ; on donnera la valeur arrondie au degré. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} } \medskip On considère un triangle EFG tel que EF = 6 cm, FG = 7,5 cm et GE = 4,5 cm. \begin{enumerate} \item Construire le triangle EFG. \item Montrer que le triangle EFG est rectangle et préciser en quel point. \item Construire le point M milieu de [EF] et construire la droite parallèle à [EG] passant par M ; elle coupe [FG] en N. \item Montrer que N est le milieu de [FG]. \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{Problème} \medskip \parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-0.4,-1)(5,4) \pspolygon(0,3)(0,0)(5,0)(5,4) \psline(0,3)(1.9,0)(5,4) \uput[ul](0,3){T} \uput[dl](0,0){P} \uput[dr](5,0){A} \uput[ur](5,4){R} \uput[d](1.9,0){$M$} \psline[linewidth=0.25pt]{<->}(0,-0.4)(5,-0.4) \psline[linewidth=0.25pt]{<->}(-0.4,0)(-0.4,3) \psline[linewidth=0.25pt]{<->}(5.4,0)(5.4,4) \uput[l](-0.4,1.5){3} \uput[d](2.5,-0.4){5}\uput[r](5.4,2){4} \end{pspicture}} \hfill \parbox{0.47\linewidth}{\textbf{Les longueurs sont exprimées en centimètres.} TRAP est un trapèze rectangle en A et en P tel que : TP = 3 ; PA = 5 ; AR = 4. $M$ est un point variable du segment [PA], et on note $x$ la longueur du segment [P$M$].} \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Dans cette question, on se place dans le cas où} \boldmath $x = 1$ \unboldmath \begin{enumerate} \item Faire une figure. \item Démontrer que, dans ce cas, le triangle ARM est isocèle en A. \item Calculer les aires des triangles PTM et ARM. \end{enumerate} \item \textbf{Dans cette question, on se place dans le cas où} \boldmath $x$ \unboldmath \textbf{est un nombre inconnu.} \begin{enumerate} \item Donner les valeurs entre lesquelles $x$ peut varier. \item Montrer que l'aire du triangle PTM est $1,5 x$ et l'aire du triangle ARM est $10 - 2x$. \end{enumerate} \medskip \textbf{La représentation graphique, dans le plan rapporté à un repère orthogonal, de la fonction représentant l'aire du triangle ARM en fonction de \boldmath $x$ \unboldmath est donnée en annexe.} \textbf{Répondre aux questions suivantes, 3. et 4., en utilisant ce graphique à rendre avec la copie.} \textbf{Laisser apparents les traits nécessaires.} \item \begin{enumerate} \item Pour quelle valeur de $x$ l'aire du triangle ARM est égale à 6 cm$^2$ ? \item Lorsque $x$ est égal à 4~cm, quelle est l'aire du triangle ARM ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Sur ce graphique donné en \textbf{annexe à rendre avec la copie}, tracer la droite représentant la fonction : $x \longmapsto 1,5x$. \item Estimer graphiquement, à un millimètre près, la valeur de $x$ pour laquelle les triangles PTM et ARM ont la même aire. Faire apparaître les traits de construction nécessaires. \item Montrer par le calcul que la valeur exacte de $x$ pour laquelle les deux aires sont égales, est $\dfrac{100}{35}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{landscape} \begin{center} \psset{xunit=3cm,yunit=0.75cm} \begin{pspicture}(5.4,11) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.2,Dy=20,comma=true]{->}(0,0)(5.4,10) \multido{\n=0.0+0.2}{28}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,10)} \multido{\n=0+1}{11}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.2pt](0,\n)(5.4,\n)} \psline(0,10)(5,0) \rput(2.7,11){\textbf{\large Annexe à rendre avec la copie}} \rput(1.3,8.5){aire du triangle R$M$A} \uput[r](0,10.5){aire en cm$^2$} \uput[d](5,-0.5){longueur de $x$ en cm} \multido{\n=0+1}{11}{\uput[l](0,\n){\n~cm$^2$}} \end{pspicture} \end{center} \end{landscape} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Pondichéry avril 2009 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Amérique du Nord juin 2009 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{AmeriqueNord}{} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small{juin 2009}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{DurŽée : 2 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Nord juin 2009\decofourright}} \vspace{0,5cm} L'utilisation d'une calculatrice est autorisŽée. \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1} Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule d'entre elles est exacte. Chaque réponse donne un point, une réponse fausse ou une absence de réponse n'enlève aucun point. \textbf{Pour chacune des 5 questions, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte.} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{4cm}|>{\centering \arraybackslash}p{2cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &&Réponse 1 &Réponse 2 &Réponse 3\\ \hline 1 &$6 - 4 (x - 2)$ est égal à &$2x-4$ &$14-4x$ &$-2-4x$\\ \hline 2& Quelle est l'expression factorisée de : $4x^2 - 12x + 9$& $(2x + 3)(2x - 3)$ &$(2x + 3)^2$& $(2x - 3)^2$\\ \hline 3 &Pour $x = -2$, l'expression $5x^2 + 2x - 3$ est égale à &13& $-27$ &17 \\ \hline 4& Le nombre 1 est solution de l'inéquation: &$4x- 3> 7$ &$-2x + 1 \leqslant -3$ &$5x + 3 < 9$\\ \hline 5&$\dfrac{4 \times 10^{-3}}{5 \times 10^2}$ est égal à& \nombre{0,0000008}& $8 \times 10^{-6}$ &$0,8 \times 10^{-6}$ \\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{X|X|}\cline{2-2} \multirow{4}{6cm}{On donne le programme de calcul suivant : }& Choisir un nombre\\ & Multiplier ce nombre par 4\\ & Ajouter 6 \\ &Écrire le résultat\\ \cline{2-2} \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la valeur exacte du résultat obtenu lorsque : \begin{enumerate} \item le nombre choisi est $1,2$ ; \item le nombre choisi est $x$. \end{enumerate} \item Quel nombre doit-on choisir pour que le résultat soit égal à 15 ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le PGCD de 186 et 155 en expliquant la méthode utilisée (faire apparaître les calculs intermédiaires). \item Un chocolatier a fabriqué 186 pralines et 155 chocolats. Les colis sont constitués ainsi : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Le nombre de pralines est le même dans chaque colis. \item[$\bullet~$] Le nombre de chocolats est le même dans chaque colis. \item[$\bullet~$] Tous les chocolats et toutes les pralines sont utilisés. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Quel nombre maximal de colis pourra-t-il réaliser ? \item Combien y aura-t-il de chocolats et de pralines dans chaque colis ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1 :} \medskip \emph{Les longueurs sont données en centimètres.} On sait que les droites (BD) et (CE) sont parallèles. On donne OB = 7,2 ; OC = 10,8 ; OD = 6 et CE = 5,1. \medskip \psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(16,5) \psline(0,1.4)(15,1.4) \psline(0,0)(14.8,4.2) \psline(1.4,0.42)(1.2,1.4) \psline(11.6,1.4)(11.2,3.2) \psline(14,1.4)(13.4,3.85) \uput[u](1.2,1.4){F} \uput[dr](1.4,0.42){G} \uput[d](4.9,1.4){O} \uput[ul](11.2,3.2){B} \uput[dr](11.6,1.4){D} \uput[ul](13.2,3.8){C} \uput[d](14,1.4){E} \end{pspicture} \medskip \emph{On ne demande pas de faire une figure en vraie grandeur. } \medskip \begin{enumerate} \item Calculer OE puis BD. \item On donne OG = 2,4 et OF = 2. Démontrer que (GF) et (BD) sont parallèles. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 :} \medskip \parbox{0.52\linewidth}{On donne BD = 4 cm; BA = 6 cm et \mbox{$\widehat{\text{DBC}}= 60\degres$}. \emph{On ne demande pas de faire une figure en vraie grandeur. } \begin{enumerate} \item Montrer que BC = 8~cm. \item Calculer CD. Donner la valeur arrondie au dixième. \item Calculer AC. \item Quelle est la valeur de $\tan \widehat{\text{BAC}}$ ? \item En déduire la valeur arrondie au degré de $\widehat{\text{BAC}}$. \end{enumerate} }\hfill \parbox{0.44\linewidth}{\psset{unit=0.7cm} \begin{pspicture}(0,-0.5)(7.5,6.5) \pspolygon(4.8,0)(7.3,2.05)(0,6.4)(4.8,0)(0,0)(0,6.4) \rput{36}(4.8,0){\psframe(0.3,0.3)} \psarc(4.8,0){4mm}{123}{180}\rput(0,0){\psframe(0.3,0.3)} \uput[dr](7.3,2.05){A} \uput[d](4.8,0){B} \uput[l](0,6.4){C} \uput[d](0,0){D} \uput[d](2.4,0){4 cm} \uput[dr](6.15,1.025){6 cm} \uput[ul](4,0){60\degres} \end{pspicture} } \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Problème } \hfill 12 points} \medskip On considère la figure ci-dessous où les dimensions sont données en cm et les aires en cm$^2$. ABCD est un rectangle. Le triangle DCF est rectangle en D. \medskip \parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(6,9.5) \psline(1,6.7)(1,0)(5.8,6.7) \psframe(1,6.7)(5.8,8.9) \psline[linestyle=dotted]{<->}(0.8,0)(0.8,6.8)\uput[l](0.8,3.4){$x$} \psline[linestyle=dotted]{<->}(0.2,0)(0.2,8.9)\uput[l](0.2,4.45){$6$} \psline[linestyle=dotted]{<->}(1,9)(5.8,9)\uput[u](3.7,8.9){$4$} \uput[ul](1.6,8.9){A} \uput[ur](5.8,8.9){B} \uput[dr](5.8,6.7){C} \uput[ul](1.6,6.7){D} \uput[d](1,0){F} \end{pspicture}} \hfill \parbox{0.56\linewidth}{\textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item Dans cette question on a AB = 4 ; AF~=~6 et DF = 2 \begin{enumerate} \item Calculer l'aire du rectangle ABCD. \item Calculer l'aire du triangle DCF. \end{enumerate} \item Dans la suite du problème AB = 4 ; AF~=~6 ; DF $=x$ et AD = $6 - x$ \begin{enumerate} \item Montrer que l'aire du rectangle ABCD est de $24 - 4x$. \item Montrer que l'aire du triangle DCF est $2x$. \item Résoudre l'équation $24 - 4x = 2x$. Pour quelle valeur de $x$, l'aire du rectangle ABCD est-elle égale à l'aire du triangle DCF ? \end{enumerate} \end{enumerate}} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item On note $f$ la fonction définie par : $f(x) = 24 - 4x$ et $g$ la fonction définie par : $g(x) = 2x$. Compléter le tableau figurant sur le document \textbf{annexe}, puis représenter graphiquement la fonction $f$ sur le document annexe (à rendre avec la copie) sur lequel figure la représentation graphique $(\mathcal{G})$ de la fonction $g$. \item Par lecture graphique, déterminer pour quelle valeur de $x$ l' aire de DCF est égale à 6~cm$^2$. \item Par lecture graphique, déterminer l'aire de ABCD pour $x = 2,5$~cm. \item Par lecture graphique, retrouver le résultat de la question 2. c. de la partie A. \medskip Pour les questions 2., 3. et 4. on laissera apparents les traits nécessaires sur le graphique. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe à rendre avec la copie} \medskip \begin{flushleft}\textbf{Problème} \medskip \textbf{Partie B 1.} \end{flushleft} \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$& 0&1&5\\ \hline $f(x) = 24 - 4x$&&&\\ \hline \end{tabularx} \vspace{1cm} \psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm} \begin{pspicture}(-0.5,-1.2)(8.7,27.2) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=2]{->}(0,0)(-0.5,-1)(8.5,27) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](0,0)(-0.5,-1)(8.5,27) \multido{\n=0.5+1.0}{9}{\psline[linecolor=orange](\n,-1)(\n,27)} \uput[d](8.5,0){$x$} \uput[l](0,27){$y$}\uput[dl](0,0){O} \psline(8,17) \uput[u](6,13){$(\mathcal{G})$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Nord juin 2009 %%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Liban juin 2009 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Liban}{} \lfoot{\small{Liban}} \rfoot{\small{juin 2009}} \thispagestyle{empty} \definecolor{gristab}{gray}{0.80} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Liban juin 2009~\decofourright}} \end{center} \vspace*{1cm} \textbf{\textsc{Activités numériques} } \medskip \textbf{\textsc{Exercice} 1 } \medskip On donne l'expression numérique : $$A=2\times 10^2+10^1+10^{-1}+2\times 10^{-2}$$ \begin{enumerate} \item Donner l'écriture décimale de $A$. \item Donner l'écriture scientifique de $A$. \item Écrire $A$ sous la forme d'un produit d'un nombre entier par une puissance de 10. \item Écrire $A$ sous la forme d'une somme d'un entier et d'une fraction irréductible inférieure à 1. \end{enumerate} \textbf{\textsc{Exercice} 2 } \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. En cas d'erreur, aucun point ne sera enlevé. Pour chaque question, indiquer son numéro sur la copie et recopier la réponse. Aucune justification n'est demandée. \medskip \begin{center} \begin{tabular}{|l|l|l|l|l|} \hline &\textbf{Question}&\textbf{Réponse A} &\textbf{Réponse B}&\textbf{Réponse C}\\\hline 1&\begin{tabular}{l} La médiane de la série de \\ valeurs\\ 7; 8; 8; 12; 12; 14;\\ 15; 15; 41 \end{tabular}&\begin{tabular}{l} est égale à la \\ moyenne de \\ cette série de \\ valeurs \end{tabular}&\begin{tabular}{l} est supérieure à \\ la moyenne de \\ cette série de \\ valeurs \end{tabular}&\begin{tabular}{l} est inférieure à \\ la moyenne de \\ cette série de \\valeurs\end{tabular}\\\hline 2&\begin{tabular}{l} Diminuer un prix de 15 \%\\ revient à \end{tabular}&\begin{tabular}{l} diviser ce prix \\ par $0,85$. \end{tabular}&\begin{tabular}{l} multiplier ce \\prix par $1,15$. \end{tabular}&\begin{tabular}{l} multiplier ce\\ prix par $0,85$.\end{tabular}\\\hline 3&\begin{tabular}{l} si $x=3$ alors \\ l'expression $A=-2x^2$ \\ est égale à \end{tabular}&18&$-18$&36\\\hline 4&\begin{tabular}{l} L'équation \\ $(2x+1)-(x-3)=0$\end{tabular}&\begin{tabular}{l} admet deux \\ solutions :\\ $-0,5$ et 3. \end{tabular}&\begin{tabular}{l} admet une \\ solution : 2 \end{tabular}&\begin{tabular}{l} admet une \\ solution : $-4$.\end{tabular}\\\hline \end{tabular} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice} 3 } \medskip Soit $A=\dfrac{1}{4}\left[(a+b)^2-(a-b)^2\right]$. \begin{enumerate} \item Calculer $A$ pour $a =1$ et $b =5$. \item calculer $A$ pour $a =-2$ et $b =-3$. \item Alex affirme que le nombre $A$ est égal au produit des nombres $a$ et $b$. A-t-il raison ? Justifier. \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Activités géométriques} } \medskip \textbf{\textsc{Exercice} 1 } \textbf{L'unité de longueur est le centimètre}. $ABCD$ est un carré tel que : $AB = 4$. Le point $M$ est situé dans le carré $ABCD$ et vérifie : $AM = 2,4$ et $DM = 3,2$. La droite $(AM)$ coupe la demi-droite $[DC)$ au point $I$. \begin{enumerate} \item Faire une figure en vraie grandeur. \item Montrer que le triangle $AMD$ est rectangle en $M$. \item Calculer au degré près la mesure de l'angle $\widehat{DAM}$. \item Dans le triangle $ADI$ rectangle en $D$, exprimer $\tan{\left(\widehat{DAI}\right)}$. En déduire une valeur approchée au mm près de la longueur $DI$. \end{enumerate} \medskip \textbf{\textsc{Exercice} 2 } \medskip Annie possède de la ficelle dont la forme est un cylindre de rayon 0,5~mm et de hauteur $h$. \begin{enumerate} \item Montrer que le volume de cette ficelle cylindrique est égale à $0,0025\times \pi\times h$ cm\up{3}. \item En enroulant cette ficelle, Annie obtient une pelote ayant la forme d'une boule de rayon 30 cm. On suppose que la ficelle est enroulée de manière qu'il n'y a aucun vide dans la pelote. Montrer que le volume de cette boule est égal à $\nombre{36000} \times \pi $ cm\up{3}. \item Vérifier que la hauteur $h$ du cylindre (la longueur de la ficelle) est égale à 144~km. \item Annie prétend que si les 294~autres élèves de son collège possédaient chacun la même pelote, on pourrait faire le tour de l'équateur terrestre en déroulant toutes ces pelotes et en les reliant bout à bout. A-t-elle raison ? Justifier. (On rappelle que le rayon de la Terre est environ égal à \nombre{6400}~km). \end{enumerate} \medskip \textbf{Rappels :} \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item Le volume d'un cylindre de hauteur $h$ et de rayon $r$ est $V=\pi\times r^2\times h$ \item Le volume d'une sphère de rayon $r$ est $V=\dfrac{4}{3}\times \pi\times r^3$ \item Le périmètre d'un cercle de rayon $r$ est $L=2\times \pi\times r$ \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \newpage \textbf{\textsc{Problème} } \medskip \begin{center} \textbf{Les trois parties sont indépendantes} \end{center} Deux frères ont hérité d'un terrain que l'on peut assimiler à un triangle rectangle. L'aire de ce terrain est égale à \nombre{2400}~m\up{2}. Ils désirent construire un muret afin de partager ce terrain en deux parcelles de même aire, soit \nombre{1200}~m\up{2} par parcelle. Pour cela, on partage le terrain selon un segment $[MN]$, $M$ et $N$ étant respectivement sur les côtés $[CB]$ et $[CA]$. Les droites $(MN)$ et $(AB)$ sont parallèles. Dans tout ce problème, l'unité de longueur est le mètre. On donne : $AB=60$ et $BC=80$. \medskip \begin{minipage}[c]{0.58\linewidth} \textbf{Partie A}\\ Dans cette partie : $CM = 50$. \begin{enumerate} \item Justifier que $MN = 37,5$. \item Comparer les aires du triangle $CMN$ et du trapèze $ANMB$ après les avoir calculées. \item Pour que les deux aires soient égales, doit-on placer le point $M$ à plus de 50 m de $C$ ou à moins de 50 m de $C$ ? \end{enumerate} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}[c]{0.28\linewidth} \psset{unit=1cm,dotscale=0.1} \begin{pspicture}(-.5,-.5)(4.5,4) \pstGeonode[PosAngle=-90](0,0){B} \pstGeonode[PosAngle=90](0,2.8){A} \pstGeonode[PosAngle=0](3.7,0){C} \pstHomO[HomCoef=0.62,PosAngle=45]{C}{B}[M] \pstHomO[HomCoef=0.62,PosAngle=45]{C}{A}[N] \pstLineAB{A}{B} \pstLineAB{A}{C} \pstLineAB{C}{B} \pstLineAB{N}{M} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,-0.6){b} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](3.7,-0.6){c} \pstLineAB[linestyle=dotted]{b}{c}\lput*{:U}{$80$} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-0.32,0){b'} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-0.32,2.8){a} \pstLineAB[linestyle=dotted]{b'}{a}\lput*{:R}{$60$} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,-0.3){b''} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](3.7,-0.3){c'} \pstHomO[HomCoef=0.62,PointSymbol=none,PointName=none]{c'}{b''}[m] \pstLineAB[linestyle=dotted]{m}{c'}\lput*{:U}{$50$} \end{pspicture} \end{minipage} \bigskip \begin{minipage}[c]{0.58\linewidth} \textbf{Partie B} \medskip On veut déterminer la distance $CM$ pour laquelle l'aire du triangle $CNM$ est égale à \nombre{1200}~m\up{2}. On pose $CM = x$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $MN=\dfrac{3}{4}x$. \item Démontrer que l'aire du triangle $CNM$, exprimée en m\up{2}, a pour mesure : $\dfrac{3}{8}x^2$. \end{enumerate} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}[c]{0.28\linewidth} \psset{unit=1cm,dotscale=0.1} \begin{pspicture}(-.5,-.5)(4.5,4) \pstGeonode[PosAngle=-90](0,0){B} \pstGeonode[PosAngle=90](0,2.8){A} \pstGeonode[PosAngle=0](3.7,0){C} \pstHomO[HomCoef=0.69,PosAngle=45]{C}{B}[M] \pstHomO[HomCoef=0.69,PosAngle=45]{C}{A}[N] \pstLineAB{A}{B} \pstLineAB{A}{C} \pstLineAB{C}{B} \pstLineAB{N}{M} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,-0.6){b} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](3.7,-0.6){c} \pstLineAB[linestyle=dotted]{b}{c}\lput*{:U}{$80$} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-0.32,0){b'} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-0.32,2.8){a} \pstLineAB[linestyle=dotted]{b'}{a}\lput*{:R}{$60$} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,-0.3){b''} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](3.7,-0.3){c'} \pstHomO[HomCoef=0.69,PointSymbol=none,PointName=none]{c'}{b''}[m] \pstLineAB[linestyle=dotted]{m}{c'}\lput*{:U}{$x$} \end{pspicture} \end{minipage} \begin{enumerate} \item[\textbf{3.}] Soit $f$ la fonction qui, au nombre $x$ appartenant à l'intervalle $[0\,;\,80]$, associe l'aire du triangle $CMN$.\\ On note $f : x \longmapsto \dfrac{3}{8}x^2$. Page suivante, on a construit la courbe représentant la fonction $f$. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \psset{xunit=0.13cm,yunit=0.0048cm,dotscale=0.1,algebraic=true} \begin{pspicture}(-5,-50)(90,2400) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(-1,0)(82,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-30)(0,2400) \multido{\n=0+5}{17}{\psline(\n,-50)(\n,2400)} \multido{\n=0+50}{48}{\psline(-1,\n)(82,\n)} \multido{\n=0+10}{9}{\rput[d](\n,-40){\scriptsize{\n}}} \multido{\n=0+100}{24}{\rput[d](-4,\n){\scriptsize{\n}}} \psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue]{0}{80}{(3/8)*x^2} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] À l'aide de cette courbe, déterminer où il faut placer le point $M$ pour que les deux parcelles aient la même aire. \emph{On donnera une valeur approchée.} \item[\textbf{b.}] En résolvant une équation, déterminer la valeur exacte de $x$ pour laquelle les deux parcelles ont la même aire. \item[\textbf{c.}] En déduire la valeur exacte de la longueur $MN$ du muret puis donne une valeur approchée au dm près de $MN$. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item Le muret est construit avec des briquettes de 20~cm de longueur et de 10~cm de hauteur. Calculer le nombre de briquettes nécessaires à la construction de ce muret de 42,20~m de longueur et de 1~m de hauteur. \item Sachant que 20~briquettes coûtent 35~\EUR, calculer le coût du muret. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Liban juin 2009 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Antiles-Guyane juin 2009 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Antilles}{} \lhead{\small A. P. M. E. P.} \rhead{\small Brevet des collèges} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small{juin 2009}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2009 \decofourright\\ Antilles--Guyane }} \vspace{0,5cm} L'usage de la calculatrice est autorisé \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill 12 points} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 3 points} \medskip Au stand d'une fête foraine, un jeu consiste à tirer au hasard un billet de loterie dans un sac contenant exactement 180 billets. \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item 4 de ces billets permettent de gagner un lecteur MP3. \item 12 permettent de gagner une grosse peluche. \item 36 permettent de gagner une petite peluche. \item 68 permettent de gagner un porte-clés. \item Les autres billets sont des billets perdants. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Quelle est la probabilité pour un participant : \begin{enumerate} \item de gagner un lecteur MP3 ? \item de gagner une peluche (grande ou petite) ? \item de ne rien gagner ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 6 points} \medskip Les 3 questions de cet exercice sont indépendantes \begin{enumerate} \item Soit A $= \dfrac{3 \times 10^5 \times 4 \times \left(10^{-3}\right)^2} {16 \times 10^{-4}}$. Donner l'écriture décimale de A puis son écriture scientifique. \item On pose $E = 16 - (5x - 3)^2$. \begin{enumerate} \item Calculer la valeur de $E$ pour $x = -1$. \item Développer et réduire $E$. \item Factoriser $E$. \end{enumerate} \item Les phrases suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier vos réponses. \begin{enumerate} \item La somme de deux multiples de 5 est un multiple de 5. \item Si 2 et 3 sont deux diviseurs d'un nombre entier, leur somme 5 est un diviseur de ce nombre. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 3 points} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le PGCD de \nombre{1394} et de 255. \item Un artisan dispose de \nombre{1394} graines d'açaï et de 255 graines de palmier pêche. Il veut réaliser des colliers identiques, c'est-à-dire contenant chacun le même nombre de graines d'açaï et le même nombre de graines de palmier pêche. \begin{enumerate} \item Combien peut-il réaliser au maximum de colliers en utilisant toutes ses graines ? \item Dans ce cas, combien chaque collier contient-il de graines d'açaï et de graines de palmier pêche ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités géométriques}\hfill 12 points} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 6 points} \medskip Voir ANNEXE 1. \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 6 points} \medskip JKL est un triangle tel que : JK = 6~cm ; JL = 3,6~cm et KL = 4,8~cm. J est un point du segment [IK] et IJ = 9~cm. $\mathcal{C}$ est le cercle de diamètre [IJ]. La droite (JL) coupe le cercle $\mathcal{C}$ en M \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(11,7.5) \psline(0,4)(10.4,4)(7.7,6)(3.4,0.4) \uput[l](0,4){I}\uput[dr](6.2,4){J}\uput[dr](4,1){M}\uput[r](10.4,4){K} \uput[ul](7.7,6){L}\uput[ur](5,6.4){$\mathcal{C}$} \psline(0,4)(3.9,1) \pscircle(3.1,4){3.1} \end{pspicture} \end{center} \emph{La figure n'est pas en vraie grandeur et il n'est pas demandé de la reproduire} \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle JKL est rectangle. \item Justifier que le triangle IJM est rectangle. \item Déterminer la longueur JM. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie A} \medskip Julien dispose de 15 jours de vacances. Il contacte l'agence de voyages \og ALAVOILE \fg{} pour préparer une croisière en voilier au départ de Fort de France. L'agence lui propose deux formules : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Formule A : 75~\euro{} par jour de croisière. \item[$\bullet~$] Formule B : un forfait de 450~\euro{} puis 25~\euro{} par journée de croisière. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4.2cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombre de jours& 5& 8& 14& $x$\\ \hline% Prix (en \euro) avec la formule A& 375 &&&\\ \hline% Prix (en \euro) avec la formule B& 575 &&&\\ \hline% \end{tabularx} \medskip \item Avec 750~\euro, combien de jours Julien peut-il partir avec la formule B ? Justifier votre réponse. \item On note $f$ et $g$ les fonctions définies par : \[f(x) = 25x + 450 \quad \text{et} \quad g(x) = 75x.\] Dans le repère de l'ANNEXE 2 (à remettre avec la copie), représenter graphiquement les fonctions $f$ et $g$ pour $x$ compris entre 0 et 15. Les unités choisies sont : \setlength\parindent{5mm} \begin{enumerate} \item 1~cm pour un jour sur l'axe des abscisses. \item 1~cm pour 50~\euro{} sur l'axe des ordonnées. \end{enumerate} \setlength\parindent{0mm} \item Par lecture graphique, déterminer à partir de combien de jours la formule B devient plus avantageuse que la formule A. \textbf{(On laissera apparents les pointillés permettant la lecture).} \item Julien décide finalement de faire une croisière de 7 jours. \begin{enumerate} \item Déterminer, par lecture graphique, la formule la plus intéressante pour lui et le prix correspondant. \textbf{(On laissera apparents les pointillés permettant la lecture)} \item Par son comité d'entreprise, Julien obtient une réduction de 5\:\% sur le prix de cette croisière. Combien vont lui coûter finalement ses vacances ? \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Le départ de la croisière choisie par Julien a lieu le 10~juillet (entre 0~h et 12~h). Le graphique ci-dessous décrit les variations de la hauteur de la mer dans le port de Fort de France selon l'heure de la matinée (entre 0~h et 12~h) du 10 juillet. \medskip \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=2.5cm} \begin{pspicture}(0,1)(12,4.2) \psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=0,Dx=6,Oy=1,Dy=1]{->}(0,1)(12,4.2) \psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=0,Dx=6,Oy=1,Dy=1](0,1)(12,4.2) \multido{\n=0+0.5}{25}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=lightgray](\n,1)(\n,4.2)} \multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,1)(\n,4.2)} \multido{\n=1+0.2}{17}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=lightgray](0,\n)(12,\n)} \multido{\n=1+1}{4}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(12,\n)} \uput[r](0,4.25){Hauteur d'eau (en m)} \uput[u](12,1){Heure (en h)} \pscurve[linewidth=1pt,linecolor=blue](0,3.44)(1,3.4)(2,3)(3,2.42)(4,2)(5,1.8)(6,1.97)(7,2.7)(8,3.42)(9,3.78)(10,3.95)(10.5,4)(11,3.93)(12,3.8) \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Le voilier ne peut sortir du port que si la hauteur d'eau dépasse 3,20 mètres. Quels sont les tranches horaires de départs possibles pour ce voilier ? \item Finalement, le skipper du voilier décide de partir lorsque la hauteur d'eau est maximale. À quelle heure va partir Julien ? \end{enumerate} \newpage \textbf{LE CANDIDAT REPONDRA DIRECTEMENT SUR LES FEUILLES ANNEXE 1 et 2} \medskip \begin{center} \textbf{ANNEXE 1 (à rendre avec la copie) }\end{center} \medskip \textbf{Exercice 1 \qquad 6 points} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée.\\ Pour chacune des questions, quatre réponses} (A, B, C \emph{et} D) \emph{sont proposées et une seule est exacte.} Écrire dans la dernière colonne la lettre correspondant à la bonne réponse. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{4.7cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\cline{3-7} \multicolumn{2}{c|}{}&\multicolumn{4}{|c|}{Réponses proposées}& \\ \cline{3-6} \multicolumn{2}{c|}{}&A &B &C &D& \\ \hline% \textbf{1.}& \begin{tabular}{p{2.2cm} p{2.2cm}} \textbf{a.} SABCD est une pyramide à base carrée ABCD et de sommet S.\\ Le triangle ABC est :& \psset{unit=0.5cm}\begin{pspicture}(4.4,4.4) \psline(2,3.7)(0.2,0.6)(3,0.3)(3.9,1.05)(2,3.7)(3,0.3)%SABCSB \psline[linestyle=dashed](2,3.7)(1.1,1.35)(0.2,0.6)%SDA \psline[linestyle=dashed](1.1,1.35)(3.9,1.05)%DC \uput[u](2,3.7){\footnotesize S}\uput[d](0.2,0.6){\footnotesize A}\uput[dr](3,0.3){\footnotesize B}\uput[d](3.9,1.05){\footnotesize C}\uput[ur](1.1,1.35){\footnotesize D} \end{pspicture}\\ \end{tabular}&\footnotesize Ni rectangle, ni isocèle&\footnotesize Rectangle et isocèle&\footnotesize Rectangle, non isocèle&\footnotesize Isocèle, non rectangle& \\ \hline &\textbf{b.} On coupe cette pyramide par un plan parallèle à sa base. La section obtenue est un :&\footnotesize parallé\-logramme non rectangle& \footnotesize triangle isocèle&\footnotesize rectangle non carré&\footnotesize carré& \\ \hline \textbf{2.}& Un cylindre de révolution a pour rayon 3~cm et pour hauteur 10~cm. Le volume de ce cylindre, exprimé en cm$^3$, est :& $10\pi$& $20\pi$& $30\pi$& $90\pi$& \\ \hline \textbf{3.}& Un rectangle A$'$B$'$C$'$D$'$ d'aire 24~cm$^2$ est l'agrandissement à l'échelle 1,25 d'un rectangle ABCD. L'aire du rectangle ABCD, exprimée en cm$^2$, est :& 15,36& 19,2& 30& 37,5& \\ \hline \textbf{4.}& \psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4,2) \pspolygon(1,1.8)(0.3,0.4)(4,0.4) \uput[l](1,1.8){E} \uput[ul](0.3,0.4){F} \uput[ur](4,0.4){G} \uput[d](2,0.4){5} \uput[l](0.6,1){$\sqrt{7}$} \rput{-25}(1,1.8){\psframe(0.3,-0.3)} \end{pspicture} La valeur exacte de EG est : & $2\sqrt{3}$& $3\sqrt{2}$& $4\sqrt{2}$& 18& \\ \hline \textbf{5.}& \psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(4.5,2.6) \pspolygon(0.2,2)(4.4,2)(3.1,0) \uput[u](0.2,2){D} \uput[u](4.4,2){N} \uput[r](3.1,0){B} \uput[u](2.5,2){7,8~cm} \uput[l](1.5,1){5,2~cm} \rput{56}(3.1,0){\psframe(0.3,0.3)} \psarc(4.4,2){2mm}{180}{232} \end{pspicture} L'arrondi au degré de la mesure de l'angle $\widehat{\text{DNB}}$ est : &34 \degres & 41 \degres& 42 \degres& 48 \degres&\\ \hline \end{tabularx} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 2 (à rendre avec la copie)} \vspace{1.5cm} \psset{xunit=0.75cm,yunit=0.015cm} \begin{pspicture}(16,1200) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=1500]{->}(0,0)(16,1200) \uput[d](15,0){Nombre de jours} \uput[r](0,1225){Prix (en \euro)} \uput[d](1,0){1} \uput[l](0,50){50}\uput[dl](0,0){0} \multido{\n=0+0.5}{33}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,1200)} \multido{\n=0+1}{17}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,1200)} \multido{\n=0+25}{49}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(16,\n)} \multido{\n=0+50}{25}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(16,\n)} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%% fin Antilles--Guyane juin 2009 %%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Asie juin 2009 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Asie}{} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{juin 2009} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Brevet Asie juin 2009~\decofourright}} \end{center} \vspace{1 cm} \textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points} \medsqkip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\ Aucune justification n'est demandée.\\ Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.\\ Chaque réponse exacte rapporte 1 point.\\ Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.} \medskip Pour chacune des quatre questions, indiquer le numéro de la question et recopier la réponse exacte. \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{6.5cm}|>{\centering \arraybackslash}X|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline 1&$x$ désigne un nombre. Une solution de l'inéquation $2x - 5 \leqslant -1$ est : &10 &$-1$ &3\\ \hline 2& le PGCD des nombres 12 et 30 est égal à :& 6 &2 &1 \\ \hline 3 &$x$ désigne un nombre. La forme développée de $(3x + 7)(3x -7)$ est : &$9x^2 +49$& $9x^2 -42x+49$ &$9x^2 - 49$\\ \hline 4 &Le nombre $\sqrt{75} - \sqrt{48}$ peut s'écrire : &$9\sqrt{3}$& $\sqrt{3}$& $\sqrt{27}$\\ \hline \end{tabularx} \renewcommand{\arraystretch}{1} \medskip \medskip \textbf{Exercice 2 \hfill 4 points} \medskip Dans un collège, une enquête a été menée sur \og le poids des cartables des élèves \fg. Pour cela, on a pesé le cartable de 48~élèves du collège. Les résultats de cette enquête sont inscrits dans le tableau ci~dessous : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Poids en kg &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 \\ \hline Effectif &1 &2 &4 &2 &5 &11&8 &8 &3 &4 \\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer l'étendue de cette série statistique. \item Déterminer la médiane de cette série statistique. \item Déterminer, les valeurs du premier quartile et du troisième quartile de la série. \item Une personne affirme : \og Plus des trois quarts des 48~élèves viennent en cours avec un cartable qui pèse 5~kg ou plus \fg. A~t-elle raison ? Justifier votre réponse. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 4 points} \medskip Un train est constitué, à l'aller, de deux locomotives identiques et de dix wagons-citernes du même modèle et ce train mesure alors 152~m de long. \medskip Après avoir vidé le contenu de tous les wagons-citernes, on décroche une locomotive et on ajoute deux wagons-citernes vides. Après ces changements, le train ainsi constitué mesure 160~m de long. On cherche la longueur $x$ d'une locomotive et la longueur $y$ d'un wagon-citerne. \begin{enumerate} \item Écrire un système de deux équations à deux inconnues représentant la situation. \item Résoudre le système $\left\{\begin{array}{l c l} x + 5y&=&76\\ x+12y &=& 160\\ \end{array}\right.$. \item En déduire la longueur en mètre d'une locomotive et celle d'un wagon-citerne. \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1 \hfill 6 points} \medskip Sur la figure ci-contre, qui n'est pas en vraie grandeur, nous savons que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] (C) est un cercle de centre E dont le diamètre [AD] mesure 9~cm. \item[$\bullet~$] B est un point du cercle (C) tel que : $\widehat{\text{AEB}} = 46\degres$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \parbox{0.65\linewidth}{ \begin{enumerate} \item Faire la figure en respectant les dimensions données. \item Montrer que le triangle ABD est un triangle rectangle. \item Justifier que : $\widehat{\text{ADB}} = 23$. \item Calculer la longueur AB et préciser sa valeur arrondie au centième de cm. \item On trace la droite parallèle à la droite (AB) passant par E. Elle coupe le segment [BD] au point F. \item Calculer la longueur EF et préciser sa valeur arrondie au dixième de cm. \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.33\linewidth}{\psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(-3,-3)(3,3) \pscircle(0,0){3} \SpecialCoor \pspolygon(3;70)(3;-110)(3;-64) \psline(0;0)(3;-64) \uput[dl](3;-110){A} \uput[dr](3;-64){B} \uput[ur](3;70){D} \uput[r](0;0){E} \uput[l](-2.5,1.8){$C$} \end{pspicture}} \bigskip \medskip \textbf{Exercice 2 \hfill 6 points} \medskip \parbox{0.5\linewidth}{\emph{La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur. On ne demande pas de la reproduire.} SABC est une pyramide telle que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] la base ABC est un triangle rectangle en B, \item[$\bullet~$] AC = 5,2 cm et BC = 2 cm, \item[$\bullet~$] la hauteur [SB] de la pyramide mesure 3 cm. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On rappelle que la formule de calcul du volume d'une pyramide est : \fbox{$V = \dfrac{1}{3}B \times h$} où $B$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée. } \hfill \parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(5,5) \pspolygon(0,0)(6.4,1.4)(1.3,4.8) \psline(0,0)(1.3,1.4)(1.3,4.8) \psline(1.3,1.4)(6.4,1.4) \pspolygon(0.58,2.2)(1.3,3)(3.9,3) \uput[dl](0,0){C} \uput[ur](6.4,1.4){A}\uput[ul](1.3,4.8){S}\uput[l](0.58,2.2){C$'$} \uput[ur](1.3,3){B$'$} \uput[ur](3.96,3){A$'$} \end{pspicture} } \bigskip \begin{enumerate} \item Construire un patron en vraie grandeur de la pyramide SABC. \item Montrer que : AB = 4,8~cm. \item Calculer le volume de la pyramide SABC en cm$^3$. \item On coupe la pyramide SABC par un plan parallèle à sa base pour obtenir une pyramide SA$'$B$'$C$'$ telle que SB$'$ = 1,5 cm. Calculer le volume de la pyramide SA$'$B$'$C$'$ en cm$^3$. \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \medskip Sarah et Julien possèdent un téléphone portable et veulent choisir l'abonnement mensuel le plus adapté à leur besoin. Ils ont sélectionné les trois tarifs suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item Tarif 1 : Le montant de la facture de téléphone en fonction du temps de communication est représenté par le graphique donné en \textbf{annexe sur la dernière page}. \item Tarif 2 : Le montant de la facture de téléphone est proportionnel au temps de communication et une minute de communication coûte 0,55~\euro. \item Tarif 3 : Le montant de la facture de téléphone est obtenu de la façon suivante : On ajoute à un abonnement mensuel de 10~\euro{} un montant proportionnel au temps de communication tel qu'une minute de communication coûte 0, 35~\euro. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \textbf{Tous les montants des factures de téléphone seront exprimés en euros et les temps de communication en minutes.} \medskip \textbf{Partie A - Étude du tarif 1 } \medskip On considère dans cette partie le montant de la facture de téléphone quand le tarif 1 a été choisi. \begin{enumerate} \item Donner, par lecture graphique, le montant de la facture pour 20~minutes de communication. (Marquer sur le graphique de l'annexe les pointillés nécessaires à cette lecture). \item Donner, par lecture graphique, la durée en minutes des communications qui correspond à une facture de 35~\euro{} (marquer sur le graphique de l'annexe les pointillés nécessaires à cette lecture). \item Le montant de la facture selon le tarif 1 est-il proportionnel à la durée des communications ? Justifier votre réponse. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B - Étude du tarif 2 } \medskip On considère dans cette partie le montant de la facture de téléphone quand le tarif 2 a été choisi. \begin{enumerate} \item Compléter le tableau intitulé \og Étude du tarif 2 \fg{} situé dans l'annexe. \item Si $x$ représente la durée des communications (en minutes) pour un mois avec le tarif 2, donner une expression du montant de la facture en fonction de $x$. \item Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = 0,55x$ ; représenter graphiquement la fonction $f$ dans le repère de l'annexe (le même repère que le graphique correspondant au tarif 1). \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C - Étude du tarif 3} \medskip On considère dans cette partie le montant de la facture de téléphone quand le tarif 3 a été choisi. \begin{enumerate} \item Compléter le tableau intitulé \og Étude du tarif 3 \fg{} situé dans l'annexe. \item Si $x$ représente la durée des communications (en minutes) pour un mois avec le tarif 3, donner une expression du montant de la facture en fonction de $x$. \item Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = 0,35x + 10$ ; représenter graphiquement la fonction $g$ dans le repère de l'annexe (le même repère que le graphique correspondant au tarif 1). \item Le montant de la facture selon le tarif 3 est-il proportionnel à la durée des communications ? Justifier votre réponse. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie D - Comparaison des tarifs} \medskip \begin{enumerate} \item Sarah a besoin de téléphoner 1~h 30~min par mois. Donner par lecture graphique le tarif le plus avantageux pour elle et marquer sur le graphique les pointillés nécessaires à cette lecture. \item Julien ne veut pas dépenser plus de 25~\euro{} par mois pour ses communications tout en souhaitant pouvoir téléphoner le plus possible. Donner par lecture graphique le tarif le plus avantageux pour lui et marquer sur le graphique les pointillés nécessaires à cette lecture. \item Résoudre l'inéquation $0, 55x \geqslant 0, 35x + 10$. Interpréter cette inéquation et sa résolution en termes de comparaison de tarifs. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \vspace{0,5cm} \vspace{0,5cm} \psset{unit=0.109cm} \begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(105,65) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-2.5,-2.5)(105,65) \multido{\n=-2.5+2.5}{44}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-2.5)(\n,65)} \multido{\n=-2.5+2.5}{28}{\psline[linewidth=0.2pt](-2.5,\n)(105,\n)} \uput[d](107.5,0){minutes} \uput[r](0,65){euros} \psline[linewidth=1.25pt](0,0)(40,30)(105,39.2857) \end{pspicture} \vspace{0,5cm} \textbf{Étude du tarif 2} \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{6.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombres de minutes de communication&20&&100\\ \hline Montant de la facture en euro selon le \textbf{tarif 2}&&22&\\ \hline \end{tabularx} \vspace{1cm} \textbf{Étude du tarif 3} \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{6.5cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombres de minutes de communication&20&100\\ \hline Montant de la facture en euro selon le \textbf{tarif 3}&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Asie juin 2009 %%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Centres étrangers I juin 2009 %%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Etranger}{} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small{juin 2009}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2009 \decofourright\\ Centres étrangers}} \end{center} \vspace{0,8cm} Calculatrice autorisée \hfill 2 heures \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill 12 points} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1} \medskip \emph{Pour les questions $1$ et $2$ écrire les différentes étapes de calcul.} \medskip On pose \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} $A = \dfrac{7}{15} - \dfrac{2}{15} \times\dfrac{9}{4}$ & $B = \dfrac{25 \times 10^6 \times 3 \times 10^{-2}}{2 \times 10^2}$ & $C = 3\sqrt{72} - 5 \sqrt{2}$\\ \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $A$ et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible. \item Calculer $B$ et donner une écriture scientifique du résultat, puis une écriture décimale de ce résultat. \item \begin{enumerate} \item Donner la valeur décimale arrondie au millième de $C$. \item Écrire $C$ sous la forme $a\sqrt{2}$ où $a$ est un entier. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2} \medskip \begin{enumerate} \item Développer $(x- 1)^2$. Justifier que $99^2 = \nombre{9801}$ en utilisant le développement précédent. \item Développer $(x -1)(x+ 1)$. Justifier que $99 \times 101 = \nombre{9999}$ en utilisant le développement précédent. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3} \medskip Durant une compétition d'athlétisme, les 7 concurrents ont couru les 200~m avec les temps suivants (en secondes) : \[20,25~~;~~ 20,12~~;~~20,48~~;~~20,09~~;~~20,69~~;~~20,19~~\text{et}~~20,38. \] \begin{enumerate} \item Quelle est l'étendue de cette série ? \item Quelle est la moyenne de cette série (arrondie au centième) ? \item Quelle est la médiane de cette série ? \item Quelle est la vitesse moyenne de l'athlète classé premier, en mètres par seconde (m/s), (arrondie au millième) ? \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Activités géométriques}\hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1 :} \medskip Soient un cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 5~cm, [AB] un diamètre de ce cercle et M un point de $\mathcal{C}$ tel que BM = 4,2~cm. \begin{enumerate} \item Faire une figure. \item Montrer que ABM est un triangle rectangle. \item Quelles sont les mesures, arrondies au degré, des angles $\widehat{\text{ABM}}$ et $\widehat{\text{AOM}}$ ? \end{enumerate} \vspace{1.5cm} \textbf{Exercice 2 :} \emph{Dans cet exercice toutes les dimensions sont données en cm. } \medskip \parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(8,8) \pspolygon(0,0)(5.6,0)(7.7,2.6)(3.85,7.2) \psline(1.6,3.1)(4.85,3.1)(6.1,4.5) \psline(5.6,0)(3.85,7.2) \uput[dl](0,0){A} \uput[dr](5.6,0){B} \uput[ur](7.7,2.6){C} \uput[l](2.1,2.6){D} \uput[l](1.65,3.1){A$'$} \uput[r](4.85,3.1){B$'$} \uput[r](6.1,4.5){C$'$} \uput[ul](2.85,4.5){D$'$} \uput[u](3.85,7.2){S}\uput[d](3.85,1.3){O} \pspolygon[linestyle=dashed](0,0)(2.1,2.6)(7.7,2.6)%ADC \psline[linestyle=dashed](5.6,0)(2.1,2.6)(3.85,7.2)(3.85,1.3)%BDSO \psline[linestyle=dashed](1.65,3.1)(6.1,4.5)(2.85,4.5)(4.85,3.1)%A'C'D'B' \end{pspicture}}\hfill \parbox{0.43\linewidth}{La pyramide SABCD ci-contre est telle que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item la base ABCD est un carré de centre O tel que AC = 12. \item les faces latérales sont des triangles isocèles en S. \item la hauteur [SO] mesure 8. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} (la figure n'est pas aux dimensions réelles) } \bigskip \begin{enumerate} \item Dans le triangle SOA rectangle en O, montrer que SA = 10. \item Sachant que AB $= 6\sqrt{2}$, montrer que l'aire du carré ABCD est 72 cm$^2$. \item Montrer que le volume de la pyramide SABCD est égal à 192~cm$^3$. \item Soient A$'$ un point de [SA] et B$'$ un point de [SB] tels que SA$'$ = SB$'$ = 3. Montrer que (AB) et (A$'$B$'$) sont parallèles. \item La pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$ est une réduction de la pyramide SABCD, calculer le coefficient de réduction. \item Calculer le volume de la pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$. \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points} \medskip Pour la saison 2008-2009, le théâtre \og MODECIA \fg{} propose les tarifs suivants : \medskip \setlength\parindent{10mm} \begin{itemize} \item Tarif A : 150~\euro{} la carte permettant d'assister à tous les spectacles. \item Tarif B : 75~\euro{} l'abonnement pour la saison qui permet d'acheter une place pour 6~\euro. \item Tarif C : 19~\euro{} la place \og plein tarif \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Compléter le tableau figurant dans l'annexe 1, qui sera à remettre avec votre copie. \item Si $x$ est le nombre de spectacles auxquels Marc assiste durant la saison, écrire, en fonction de $x,~ P_{\text{A}}(X),~ P_{\text{B}}(x)$ et $P_{\text{C}}(x)$, le prix que devrait payer Marc, suivant le tarif utilisé. \item Parmi ces trois fonctions y a-t-il une fonction linéaire ? Si oui laquelle ? \item Dans l'annexe 2, qui sera à remettre avec votre copie, on a tracé les représentations graphiques $\left(T_{\text{A}}\right)$ et $\left(T_{\text{C}}\right)$ des fonctions $P_{\text{A}}$ et $ P_{\text{C}}$. Tracer la représentation graphique $\left(T_{\text{B}}\right)$ de la fonction $P_{\text{B}}$ dans le repère de l'annexe 2. \item Si on dispose de 100~\euro, lire graphiquement le nombre de spectacles auxquels on peut assister avec le tarif C (laisser apparaître les tracés sur le graphique). \item Retrouver graphiquement le tarif Ie plus intéressant pour voir huit spectacles. \item Résoudre l'inéquation : $19x > 6x + 75$. En déduire le nombre de spectacles pour lequel le tarif B est plus intéressant que le tarif C. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 1} \vspace{0,5cm} \textbf{À remettre avec la copie} \begin{flushleft} \textbf{Problème :}\end{flushleft} \vspace{0,5cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombre de spectacles&3&8&14\\ \hline Tarif A&&&\\ \hline Tarif B&&&\\ \hline Tarif C&&&\\ \hline \end{tabularx} \vspace{0,5cm} \textbf{ANNEXE 2} \vspace{0,5cm} \psset{xunit=0.75cm,yunit=0.075cm} \begin{pspicture}(-0.5,-5)(15.5,170) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(-0.5,-5)(15.5,170) \multido{\n=-0.5+0.5}{33}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-5)(\n,170)} \multido{\n=-5+5}{36}{\psline[linewidth=0.2pt](-0.5,\n)(15.5,\n)} \psline(0,150)(15.5,150) \psline(0,0)(8.94737,170) \uput[d](14.5,150){$T_{\text{A}}$} \uput[r](9,170){$T_{\text{C}}$} \uput[d](15.5,0){$x$} \uput[l](0,170){$y$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%% fin Centres étrangers I juin 2009 %%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%% Centres étrangers II juin 2009 %%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{EtrangerII}{} \lfoot{\small{Centres étrangers II}} \rfoot{\small{juin 2009}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2009 \decofourright\\ Centres étrangers II}} \end{center} \vspace{0,8cm} Calculatrice autorisée \hfill 2 heures \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill 12 points} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Une réponse correcte rapportera 1~point. L'absence de réponse ou une réponse fausse ne retirera aucun point.\\ Indiquer sur la copie, le numéro de la question et la réponse.} \bigskip \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{5cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline N°& Question& Réponse A &Réponse B &Réponse C \\ \hline 1 &$4,25 =$ &$4 + \dfrac{25}{10}$&$\dfrac{17}{4}$& $3 + 1 \times 0,25$\\ \hline 2&$\dfrac{82}{7} = $&82,7&11,714&$11 + \dfrac{5}{7}$\\ \hline 3& $\sqrt{500} - \sqrt{45} =$ &$7\sqrt{5}$& $\sqrt{455}$& 15,65\\ \hline 4 &les solutions de $(3x - 2)(x + 5) = 0$ sont :& $\dfrac{2}{3}$ et $-5$&$\dfrac{3}{2}$ et $-5$&$- \dfrac{2}{3}$ et 5\\ \hline \end{tabularx} \renewcommand{\arraystretch}{1} \bigskip \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2} \medskip \begin{enumerate} \item Comment, sans calcul, peut-on justifier que la fraction $\dfrac{\nombre{1848}}{\nombre{2040}}$ n'est pas irréductible? \item Calculer le PGCD des nombres \nombre{1848} et \nombre{2040} en indiquant la méthode. \item Simplifier la fraction $\dfrac{\nombre{1848}}{\nombre{2040}}$ pour la rendre irréductible. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3} \medskip \emph{Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip Anatole affirme : \og pour tout nombre entier naturel $n$, l'expression $n^2 - 24n + 144$ est toujours différente de zéro. \fg A-t-il raison ? \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 4} \medskip \begin{enumerate} \item Pierre a lancé dix fois un dé cubique (non truqué). À chaque fois, il a obtenu 6. Il lance ce dé une 11\up{e} fois. Quelle est la probabilité d'obtenir 6 au 11\up{e} lancer ? \item Dans une classe, un sondage a été fait auprès des élèves pour connaître leur animal préféré. Les résultats sont illustrés dans le graphique ci-dessous. \medskip \begin{center} \psset{yunit=1cm,xunit=1.4cm} \begin{pspicture}(7,7) \psframe(7,7) \psaxes[Dx=10](0,0)(7,7) \multido{\n=0+1}{8}{\psline(0,\n)(7,\n)} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.7,0)(1.3,6) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.7,0)(2.3,5) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.7,0)(3.3,3) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.7,0)(4.3,2) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4.7,0)(5.3,1) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.7,0)(6.3,3) \uput[d](1,0){chien} \uput[d](2,0){chat} \uput[d](3,0){dauphin} \uput[d](4,0){perroquet} \uput[d](5,0){lion} \uput[d](6,0){autres} \end{pspicture} \end{center} \bigskip Quelle est la fréquence d'apparition de la réponse \og chien \fg{}? \item On donne la série suivante : 3 ; 4 ; 6 ; 10 ; 13 ; 14 ; 17 ; 25 ; 26 Quelle est la médiane de cette série ? Quel est le premier quartile de cette série ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités géométriques }\hfill 12 points} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1} \medskip Sur la figure ci-dessous, qui n'est pas en vraie grandeur, le quadrilatère BREV est un rectangle avec BR = 13~cm et BV = 7,2~cm. Le point T est sur le segment [VE] tel que VT = 9,6~cm. N est le point d'intersection des droites (BT) et (RE). \bigskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(7,6) \psframe(0,2)(7,6) \psline(7,0)(7,2) \psline(0,6)(7,0) \uput[ul](0,6){B} \uput[ur](7,6){R} \uput[dr](7,2){E} \uput[dl](0,2){V} \uput[r](7,0){N} \uput[ur](4.62,2){T} \uput[u](3.5,6){13} \uput[l](0,4){7,2} \uput[d](2.31,2){9,6} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Démontrer que la longueur TE est égale à 3,4~cm. \item Calculer la longueur BT. \item Calculer la longueur EN. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2} \medskip \begin{enumerate} \item Construire un triangle équilatéral FIO de 5~cm de côté. \item Construire le point R, symétrique de I par rapport au point O. \item Construire le point E, symétrique de I par rapport à la droite (OF). \item Construire le point U, symétrique de F par rapport au point O. \item Construire le point G, symétrique de F par rapport à la droite (IO). \item Tracer le polygone FIGURE. Quelle semble être sa nature ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3} \medskip Dans la figure ci-dessous, qui n'est pas en vraie grandeur, on a : E $\in $ [RD], C $\in $ [RU], RE = 3~cm, ED = 1,5~cm, RC = 2~cm et RU = 3~cm. \bigskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(5,3.5) \pspolygon(0.3,0.15)(4.3,0.6)(0,3) \psline(2.86,0.45)(0.1,2) \uput[dl](0.3,0.15){R} \uput[dr](4.3,0.6){U} \uput[ul](0,3){D} \uput[dr](2.86,0.45){C} \uput[ul](0.1,2){E} \rput{7}(0.3,0.15){\psframe(0,0)(0.3,0.3)} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Démontrer que les droites (EC) et (DU) sont parallèles. \item Calculer le rapport d'agrandissement permettant de passer du triangle REC au triangle RDU. \item Montrer que l'aire du triangle RDU est égale à 2,25 fois l'aire du triangle REC. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points} \medskip Une lanterne, entièrement vitrée, a la forme d'une pyramide reposant sur un parallélépipède rectangle ABCDEFGH. S est le sommet de la pyramide. O est le centre du rectangle ABCD. SO est la hauteur de la pyramide. \psset{unit=1.25cm} \begin{center} \begin{pspicture}(3,6) \psframe(0,0)(1.8,2.4)%EFBA \psline(1.8,0)(2.9,1)(2.9,3.5)(1.4,5.6)(1.8,2.4)(2.9,3.5)%FGCSBC \psline(1.4,5.6)(0,2.4)%SB \psline[linestyle=dashed](0,0)(1.2,1)(1.2,3.5)(1.4,5.6)(1.5,2.95) \pspolygon[linestyle=dashed](0,2.4)(2.9,3.5)(1.2,3.5) \psline[linestyle=dashed](1.2,3.5)(1.8,2.4) \psline[linestyle=dashed](1.2,1)(2.9,1) \uput[dl](0,0){E} \uput[dr](1.8,0){F} \uput[r](2.9,1){G} \uput[ul](1.2,1){H} \uput[ul](0,2.4){A} \uput[dr](1.8,2.4){B} \uput[ur](2.9,3.5){C} \uput[ul](1.2,3.5){D} \uput[u](1.4,5.6){S} \uput[dl](1.5,2.95){O} \uput[d](0.9,0){10 cm}\uput[r](2.35,0.5){10,5 cm} \uput[r](2.9,2.25){14 cm} \end{pspicture} \end{center} \textbf{Partie 1} Dans cette partie, la hauteur SO est égale à 12~cm. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le volume du parallélépipède rectangle ABCDEFGH. \item Calculer le volume de la pyramide SABCD. \item En déduire le volume de la lanterne. \end{enumerate} \item Sachant que le segment [OC] mesure 7,25~cm, calculer une valeur approchée à 0,1 degré près de la mesure de l'angle $\widehat{\text{OSC}}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie 2} \medskip Dans cette partie, on désigne par $x$ la hauteur SO en cm de la pyrdmide SABCD. \begin{enumerate} \item Montrer que le volume en cm$^3$ de la lanterne est donné par : $V(x) = \nombre{1470} + 35x$. \item Calculer ce volume pour $x = 7$. \item Pour quelle valeur de $x$ le volume de la lanterne est-il de \nombre{1862}~cm$^3$ ? \item Un tableur est utilisé pour calculer le volume de la lanterne, noté $V(x)$, pour plusieurs valeurs de $x$, hauteur de la pyramide. \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A&B \\ \hline 1&$x$&$V(x)$\\ \hline 2&&\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(2.3,0.5) \psframe(2.3,0.5)\end{pspicture}\\ \hline 3&&\\ \hline 4&&\\ \hline 5&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip Parmi les formules ci-dessous, recopier celle que l'on peut saisir dans la case B2 pour obtenir le calcul du volume de la lanterne : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}} $\fbox{1470+35*A2}$&$\fbox{=1470+35/A2}$&$\fbox{=1470+35*A2}$\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \textbf{Partie 3} On s'intéresse à la surface vitrée de la lanterne. Le graphique ci-dessous est celui de la fonction $f$ qui à $x$ associe l'aire, en cm$^2$, de cette surface vitrée. \medskip \psset{xunit=0.8cm,yunit=0.05cm} \begin{center} \begin{pspicture}(0,780)(14.5,1020) \psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=780,Dy=20]{->}(0,780)(14.5,1020) \multido{\n=0+0.5}{30}{\psline[linewidth=0.25pt](\n,780)(\n,1020)} \multido{\n=780+10}{25}{\psline[linewidth=0.25pt](0,\n)(14.5,\n)} \psplot{0}{14.5}{x 2 exp 27.5625 add sqrt 10 mul x 2 exp 25 add sqrt 10.5 mul add 679 add} \rput(12,785){hauteur de la pyramide (en cm)} \rput(3,1015){aire de la surface vitrée $\left(\text{en cm}^2\right)$} \end{pspicture} \end{center} \bigskip \begin{enumerate} \item La fonction $f$ est-elle une fonction affine ? \item Lire sur le graphique une valeur approchée de $f(11)$. \item Lire sur le graphique une valeur approchée de l'antécédent de $850$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%% fin Centres étr angers II juin 2009 %%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%% Métropole juin 2009 %%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Metropole}{} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{juin 2009}} \thispagestyle{empty} \definecolor{gristab}{gray}{0.80} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet\\Métropole - La Réunion - Mayotte juin 2009}} \end{center} \vspace*{1cm} \vspace*{1cm} \textbf{\textsc{Activités numériques} 12 points} \textbf{\textsc{Exercice} 1 } \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $A$\\$$A=\dfrac{8+3\times 4}{1+2\times 1,5}$$ \item Pour calculer $A$ un élève a tapé sur sa calculatrice la succession de touches ci-dessous : \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.2} \begin{tabular}{*{10}{|c|c}} \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}\cline{7-7}\cline{9-9}\cline{11-11}\cline{13-13} \cline{15-15}\cline{17-17}\cline{19-19}% \makebox[3mm]{8}&&\makebox[3mm]{+}&&\makebox[3mm]{3}&&\makebox[3mm]{$\times$}&&\makebox[3mm]{4}&&\makebox[3mm]{$\div$}&&\makebox[3mm]{1}&&\makebox[3mm]{+}&&\makebox[3mm]{2}&&\makebox[3mm]{$\times$}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}\cline{7-7}\cline{9-9}\cline{11-11}\cline{13-13} \cline{15-15}\cline{17-17}\cline{19-19} \multicolumn{20}{c}{}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}\cline{7-7} \makebox[3mm]{1}&&\makebox[3mm]{.}&&\makebox[3mm]{5}&&\makebox[3mm]{=}&\multicolumn{2}{c}{}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}\cline{7-7}%\cline{9-9}\cline{11-11}\cline{13-13} % \end{tabular} \medskip Expliquer pourquoi il n'obtient pas le bon résultat. \end{enumerate} \medskip \textbf{\textsc{Exercice} 2 } \medskip Trois personnes, Aline, Bernard et Claude ont chacune un sac contenant des billes. Chacune tire au hasard une bille de son sac. \begin{enumerate} \item Le contenu des sacs est le suivant : \begin{center} \begin{tabular}{ccc} Sac d'Aline :&Sac de Bernard : &Sac de Claude :\\ \quad\\ \psframebox[fillstyle=none]{\begin{tabular}{c} \quad\\5 billes rouges\\\quad\\ \end{tabular}}&\psframebox[fillstyle=none]{\begin{tabular}{c}10 billes rouges\\et\\30 billes noires \end{tabular}}&\psframebox[fillstyle=none]{\begin{tabular}{c} 100 billes rouges\\et\\3 billes noires\\ \end{tabular}}\\ \end{tabular} \end{center} Laquelle de ces personnes a la probabilité la plus grande de tirer une bille rouge ? \item On souhaite qu'Aline ait la même probabilité que Bernard de tirer une bille rouge. Avant le tirage, combien de billes noires faut-il ajouter pour cela dans le sac d'Aline ? \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice} 3 } \medskip On donne ci-dessous les représentations graphiques de trois fonctions. Ces représentations sont nommées $C_1$, $C_2$ et $C_3$. L'une d'entre elles est la représentation graphique d'une fonction linéaire. Une autre est la représentation graphique de la fonction $f$ telle que $f : x\mapsto -0,4x+3$ \medskip \begin{center} \psset{unit=1.1cm,dotscale=0.1,algebraic=true} \begin{pspicture}(-5,-3)(6,5) \multido{\n=-5+1}{12}{\psline[linewidth=0.6pt](\n,-3)(\n,5)} \multido{\n=-3+1}{9}{\psline[linewidth=0.6pt](-5,\n)(6,\n)} \multido{\n=-5+.2}{55}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-3)(\n,5)} \multido{\n=-3+.2}{40}{\psline[linewidth=0.3pt](-5,\n)(6,\n)} \psplot[linecolor=blue]{-1.8}{3}{(5/3)*x} \psplot[linecolor=red]{-5}{6}{-0.4*x+3} \psplot[linecolor=green]{-2.32}{6}{(1/12)*(x+1)*(x-2)*(x-4)} \multido{\n=-5+1}{12}{\rput[d](\n,-0.15){\tiny{\n}}} \multido{\n=-3+1}{9}{\rput[l](-0.15,\n){\tiny{\n}}} \rput(5.4,3.5){$C_3$} \rput(-2.5,4.2){$C_2$} \rput(2.2,4.2){$C_1$} \pstGeonode[PosAngle=45,PointSymbol=x,dotscale=1](-4,4.6){B} \psline{->}(0,0)(1,0) \psline{->}(0,0)(0,1) \psline{->}(0,0)(6,0) \psline{->}(0,0)(0,5) \rput(6,0.12){\textbf{\tiny{$x$}}} \rput(0.1,4.9){\textbf{\tiny{$y$}}} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Lire graphiquement les coordonnées du point $B$. \item Par lecture graphique, déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe $C_3$ avec l'axe des abscisses. \item Laquelle de ces représentations est celle de la fonction linéaire ? Justifier. \item Laquelle de ces représentations est celle de la fonction $f$ ? Justifier. \item Quel est l'antécédent de $1$ par la fonction $f$ ? Justifier par un calcul. \item $A$ est le point de coordonnées $(4,6\,;\,1,2)$. $A$ appartient-il à $C_2$ ? Justifier par un calcul. \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Activités géométriques} 12 points} \textbf{\textsc{Exercice} 1 } \medskip L'unité de longueur est le centimètre. $ABC$ est un triangle tel que : $AB=16$ cm, $AC=14$ cm et $BC=8$ cm. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item[a.] Tracer en vraie grandeur le triangle $ABC$ sur la copie. \item[b.] Le triangle $ABC$ est-il rectangle ? Justifier. \end{enumerate} \item Le mathématicien Héron d'Alexandrie (1\up{er} siècle), a trouvé une formule permettant de calculer l'aire d'un triangle : en notant $a$, $b$, $c$ les longueurs des trois côtés et $p$ son périmètre, l'aire $\mathcal{A}$ du triangle est donnée par la formule : \[\mathcal{A}=\sqrt{\cfrac{p}{2}\left(\cfrac{p}{2}-a\right)\left(\cfrac{p}{2}-b\right)\left(\cfrac{p}{2}-c\right)}.\] Calculer à l'aide de cette formule l'aire du triangle $ABC$. Donner le résultat arrondi au cm$^2$ près. \end{enumerate} \textbf{\textsc{Exercice} 2 } \medskip \begin{tabular}{|l|c|} \hline \begin{minipage}[c]{0.48\linewidth} Dans cet exercice, on étudie la figure ci-contre où : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet$] $ABC$ est un triangle isocèle tel que \\ $AB=AC=4$ cm\\ \item[$\bullet$] $E$ est le symétrique de $B$ par rapport à $A$. \end{itemize}\setlength\parindent{0mm} \end{minipage}&\begin{minipage}[c]{0.38\linewidth} \psset{unit=1cm,dotscale=0.1} \begin{pspicture}(-1,-1)(4.5,3) \pstGeonode[PosAngle=-90,PointSymbol=+](0,0){B} \pstGeonode[PosAngle=90,PointSymbol=+](1.7,1.2){A} \pstGeonode[PosAngle=-90,PointSymbol=+](3.4,0){C} \pstMarkAngle[MarkAngleRadius=.5]{c}{B}{A}{} \pstHomO[HomCoef=-1,PosAngle=90,PointSymbol=+]{A}{B}[E] \pstLineAB{C}{B} \pstLineAB{A}{B} \pstLineAB{A}{E} \pstLineAB{C}{A} \psset{linewidth=0.3pt} \pstSegmentMark[SegmentSymbol=MarkHash]{A}{B} \pstSegmentMark[SegmentSymbol=MarkHash]{A}{E} \pstSegmentMark[SegmentSymbol=MarkHash]{A}{C} \end{pspicture} \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \medskip \textbf{Partie 1 :} On se place dans le cas particulier où la mesure de $\widehat{ABC}$ est 43 \degres. \begin{enumerate} \item Construire la figure en vraie grandeur. \item Quelle est la nature du triangle $BCE$ ? Justifier. \item Prouver que l'angle $\widehat{EAC}$ mesure 86 ~\degre. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie 2 :} Dans cette partie, on se place dans le cas général où la mesure de $\widehat{ABC}$ n'est pas donnée. Jean affirme que pour n'importe quelle valeur de $\widehat{ABC}$, on a : $\widehat{EAC}=2\widehat{ABC}$. Jean a-t-il raison ? Faire apparaître sur la copie la démarche utilisée.\\ \newpage \textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points} \medskip On considère un triangle $ABC$ tel que : $AB = 17,5$ cm ; $BC = 14$ cm ; $AC = 10,5$ cm. \textbf{Partie 1} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$. \item Soit $P$ un point du segment $[BC]$. La parallèle à la droite $(AC)$ passant par $P$ coupe le segment $[AB]$ en $R$. La parallèle à la droite $(BC)$ passant par $R$ coupe le segment $[AC]$ en $S$. Montrer que le quadrilatère $PRSC$ est un rectangle. \begin{center} \psset{unit=1cm,dotscale=0.1} \begin{pspicture}(0,-1)(4.5,5) \pstGeonode[PosAngle=-180,](0,0){A} \pstGeonode[PosAngle=-30,](3,0){C} \pstGeonode[PosAngle=90](3,4){B} \pstGeonode[PosAngle=-135,](1.88,0){S} \pstTranslation[PointName=none,PointSymbol=none]{C}{B}{S}[r] \pstInterLL[PosAngle=135]{S}{r}{A}{B}{R} \pstTranslation[PointName=none,PointSymbol=none]{A}{C}{R}[p] \pstInterLL[PosAngle=45]{R}{p}{C}{B}{P} \pstLineAB{C}{B} \pstLineAB{A}{B} \pstLineAB[nodesepA=-.6,nodesepB=-.6]{R}{P} \pstLineAB{C}{A} \pstLineAB[nodesepA=-.3,nodesepB=-.2]{S}{R} \rput[d](1.5,-1){\scriptsize{\emph{La figure n'est pas en vraie grandeur}}} \end{pspicture} \end{center} \medskip \item Dans cette question, on suppose que le point $P$ est situé à 5~cm du point $B$. \begin{enumerate} \item Calculer la longueur $PR$. \item Calculer l'aire du rectangle $PRSC$. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie 2} \medskip On déplace le point $P$ sur le segment $[BC]$ et on souhaite savoir quelle est la position du point $P$ pour laquelle l'aire du rectangle $PRSC$ est maximale. \begin{enumerate} \item L'utilisation d'un tableur a conduit au tableau de valeurs suivant :\\ \renewcommand{\arraystretch}{1.2} \begin{tabular}{|l|*{8}{c|}} \hline Longueur $BP$ en cm&\makebox[10mm]{0}&\makebox[10mm]{1}&\makebox[10mm]{3}&\makebox[10mm]{5}&\makebox[10mm]{8}&\makebox[10mm]{10}&\makebox[10mm]{12}&\makebox[10mm]{14}\\ \hline Aire de $PRSC$ en cm$^2$&0&9,75&24,75&&36&&18&0\\ \hline \end{tabular} \medskip Indiquer sur la copie les deux valeurs manquantes du tableau. Justifier par un calcul la valeur trouvée pour $BP=10$ cm. \newpage \item Un logiciel a permis d'obtenir la représentation graphique suivante : \medskip \begin{center} \textbf{Aire du rectangle $PRSC$ en fonction de la longueur $BP$}\\ \medskip \psframebox[fillstyle=none]{\psset{xunit=0.65cm,yunit=0.21cm,dotscale=0.1,algebraic=true} \begin{pspicture}(-1,-4)(15.6,42) \multido{\n=0+1}{16}{\psline[linewidth=0.8pt](\n,-.1)(\n,40)} \multido{\n=0+5}{9}{\psline[linewidth=0.8pt](-.2,\n)(15,\n)} \multido{\n=0+1}{40}{\psline[linewidth=0.3pt](-0,\n)(15,\n)} \psplot[linecolor=blue,linewidth=0.8pt]{0}{14}{-.75*x*(x-14)} \multido{\n=0+1}{16}{\rput[d](\n,-2){\n}} \multido{\n=0+5}{9}{\rput[r](-0.5,\n){\n}} \end{pspicture}} \end{center} À l'aide d'une lecture graphique, donner : \begin{enumerate} \item Les valeurs de $BP$ pour lesquelles le rectangle $PRSC$ a une aire de 18~cm$^2$. \item La valeur de $BP$ pour laquelle l'aire du triangle semble maximale. \item Un encadrement à 1~cm$^2$ près de l'aire maximale du rectangle $PRSC$. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie 3} \medskip \begin{enumerate} \item Exprimer $PC$ en fonction de $BP$. \item Démontrer que $PR$ est égale à $0,75\times BP$. \item Pour quelle valeur de $BP$ le rectangle $PRSC$ est-il un carré ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole juillet 2009 %%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Polynésie juin 2009 %%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Polynesie}{} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{juin 2009}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Brevet Polynésie juin 2009 \decofourright}} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1} \medskip \emph{Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, choisir et entourer la bonne réponse parmi les trois proposées.} \textbf{Aucune justification n'est demandée. } \medskip \renewcommand{\arraystretch}{2} \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{5.25cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \textbf{1.} $\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{4} \times \dfrac{1}{2}$ est égal à : &$- \dfrac{2}{4}$&$- \dfrac{2}{8}$& $\dfrac{1}{8}$\\ \hline \textbf{2.} Le nombre décimal $0,246$ s'écrit aussi : &$2,46 \times 10^{-1}$& $24,6 \times 10^1$&$2,46 \times 10^1$\\ \hline \textbf{3.} Quand $x= -2$, l'expression $2x^2 - 5x+3$ est égale à :&$-15$& $1$& $21$\\ \hline \textbf{4.} L'expression réduite de $2x - (5x - 3)$ est : &$-3x-3$ &$-3x+3$ &$7x+3$\\ \hline \textbf{5.} Un randonneur parcourt 5~km en 1~ h 15~min. Sa vitesse moyenne est : &4~km/h& 4,3~km/h &5,75~km/h.\\ \hline \end{tabularx} \renewcommand{\arraystretch}{1} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2} \medskip À un stand du \og Heiva \fg, on fait tourner la roue de loterie ci-dessous. \parbox{0.6\linewidth}{On admet que chaque secteur a autant de chance d'être désigné. On regarde la lettre désignée par la flèche : A, T ou M, et on considère les évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] A : \og on gagne un autocollant \fg{} ; \item[$\bullet~$] T : \og on gagne un tee-shirt \fg{} ; \item[$\bullet~$] M : \og on gagne un tour de manège \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm}} \hfill \parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2.5) \psline[linewidth=2pt]{->}(0.75,2.3)(0.75,1.3) \SpecialCoor \pscircle(0;0){2} \psline(2;180)(2;0) \psline(2;90)(2;-90) \psline(2;45)(2;-135) \psline(2;135)(2;-45) \rput(1.25;22.5){M} \rput(1.25;67.5){T}\rput(1.25;112.5){A}\rput(1.25;157.5){T} \rput(1.25;202.5){M}\rput(1.25;247.5){T}\rput(1.25;292.5){M}\rput(1.25;-22.5){T} \end{pspicture}} \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité de l'évènement A ? \item Quelle est la probabilité de l'évènement T ? \item Quelle est la probabilité de l'évènement M ? \item Exprimer à l'aide d'une phrase ce qu'est l'évènement non A puis donner sa probabilité. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3} \medskip Dans cet exercice, écrire toutes les étapes des calculs permettant d'expliquer votre démarche. \emph{Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip Pour offrir un cadeau à l'un d'eux, les élèves d'une classe ont collecté 500~F en pièces de 20~F et de 5~F, soit 43~pièces en tout. Déterminer le nombre de pièces de chaque sorte. \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points} \medskip \begin{center} \textbf{Dans toute cette partie, l'unité de longueur est le centimètre.} \end{center} \medskip \textbf{Exercice 1} Sur la figure ci-dessous qui \textbf{n'est pas en vraie grandeur}, \bigskip \parbox{0.6\linewidth}{ \vspace*{-3cm} ABCD est un trapèze rectangle, le point H appartient au segment [DC]. On donne : AB = 5 ; \quad AD = 4,8 ; \quad BC = 6. \vspace{2cm} \textbf{1.} Construire cette figure sur la feuille de papier millimétré, en respectant les mesures données. (On la placera au centre de la feuille). \textbf{2.} Montrer que la longueur HC est égale à 3,6. \textbf{3.} Calculer le périmètre du trapèze ABCD. \textbf{4.} Calculer l'aire du trapèze ABCD. \textbf{5.} Compléter la figure de la question 1) pour obtenir le patron du prisme droit ci-contre dont une base est le triangle SHC. Le prisme droit ci -contre n'est pas en vraie grandeur.} \hfill \parbox{0.38\linewidth}{ \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(-1,0)(5,13) \psframe(0,11)(3,13)\psline(3,11)(4,11)(3,13) \uput[ul](0,13){A} \uput[ur](3,13){B} \uput[dr](4,11){C} \uput[dl](0,11){D} \uput[d](3,11){H} \psframe(0.8,2)(5,8) \psline(5,8)(2.4,9.6)(0.8,8) \psline[linestyle=dashed](5,2)(2.4,3.6)(0.8,2) \psline[linestyle=dashed](2.4,3.6)(2.4,9.6) \uput[ur](5,8){A} \uput[dr](5,2){B} \uput[dl](0.8,2){C} \uput[u](2.4,9.6){D} \uput[ul](0.8,8){E} \uput[ur](2.4,3.6){H} \end{pspicture}} \vspace*{-1cm} \textbf{Exercice 2} \medskip \textbf{La figure n'est pas en vraie grandeur et n'est pas à reproduire.} \medskip Dans un verre à pied ayant la forme d'un cône de révolution dans sa partie supérieure, on verse du sirop de menthe jusqu'à la hauteur IR puis de l'eau jusqu'à la hauteur IF. Ce verre est représenté ci-dessous en coupe. Les points I, R et F sont alignés ainsi que les points I, S et G. On donne: RS = 3 ; FG = 7,5 et IF = 8. \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(10,6.5) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](5.1,0)(6.9,0)(6,0.6) \psline(6,0.6)(6,1.6) \pspolygon(6,1.6)(8.9,5.8)(3.1,5.8) \psline[linewidth=0.2pt](6,1.6)(6,5.8) \psline[linestyle=dashed](8.3,4.9)(3.7,4.9) \psline[linestyle=dashed](7.1,3.2)(4.9,3.2) \uput[dr](6,1.6){I} \uput[dr](6,3.2){R} \uput[dr](6,4.9){F} \uput[dr](7.1,3.2){S} \uput[dr](8.3,4.9){G} \psframe(6,3.2)(5.8,3) \psframe(6,4.9)(5.8,4.7) \rput(1.5,4.9){Niveau de l'eau} \rput(1.5,3.2){Niveau du sirop de menthe} \psline{->}(2.8,4.9)(3.4,4.9) \psline{->}(3.7,3.2)(4.6,3.2) \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Pour démontrer que les droites (RS) et (FG) sont parallèles, laquelle des quatre propriétés suivantes faut-il utiliser ? Choisir et recopier la propriété sur votre copie. \begin{enumerate} \item Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles. \item Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles. \item Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle alors elle est parallèle au troisième côté. \item La réciproque du théorème de Thalès. \end{enumerate} \item Calculer IR. \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \medskip Pour la fête du cinéma, des prix spéciaux sont proposés au public. \medskip \textbf{Première partie} Le tableau ci-dessous donne la répartition du nombre de spectateurs à la séance de midi, dans une salle de 325~places pendant la semaine du cinéma. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Jour &lundi &mardi &mercredi &jeudi &vendredi &samedi &dimanche\\ \hline \hspace{-0.2cm}\begin{tabular}{l}nombre de\\ spectateurs \\ \end{tabular} &164 &239 &312 &285 &310 &308 &321 \\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le nombre moyen de spectateurs à la séance de midi pendant la semaine du cinéma. \item Quel pourcentage du nombre total de places de la salle représentent les places occupées le mercredi ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Deuxième partie} \medskip Un billet de cinéma au tarif normal co\^ute 850~F. On propose deux tarifs réduits au public : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item Tarif A : On fait une réduction de 8\:\% sur le prix total des billets achetés, \item Tarif B : On paie une carte d'abonnement de \nombre{1000}~F et 600~F un billet. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Montrer qu'un billet vendu au tarif A co\^ute 782~F. \item Compléter le tableau de proportionnalité suivant et expliquer votre démarche. \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3.25cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Prix au tarif normal &850 &\nombre{2550} & &\nombre{4250} & \\ \hline Prix au tarif A &782 & &\nombre{7038} & &\nombre{9384}\\ \hline \end{tabularx} \renewcommand{\arraystretch}{1.} \medskip \item Soit M le montant total à payer au tarif normal par un client pour un certain nombre de billets. Exprimer en fonction de M le prix total payé au tarif A pour le même nombre de billets. \item Calculer le prix de 5~billets au tarif B. \item Si on dispose de \nombre{6400}~F, combien de billets peut-on acheter au tarif B ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Troisième partie} \medskip Les droites ci--dessous représentent les prix payés en fonction du nombre de billets suivant les deux types de tarifs. \medskip \psset{xunit=1.3cm,yunit=0.001625cm} \begin{pspicture}(-1,-400)(8,5200) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=400]{->}(0,0)(-1,-400)(8,5200) \multido{\n=-1.00+0.25}{37}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-400)(\n,5200)} \multido{\n=-400+200}{29}{\psline[linewidth=0.2pt](-1,\n)(8,\n)} \psplot{-0.5}{6.5}{782 x mul}\uput[d](3,2400){$(d)$} \psplot{-1}{6.75}{1000 x 600 mul add} \uput[u](3,2800){$(d')$} \uput[dr](0,0){$0$} \uput[u](7,0){nombre de billets} \uput[l](0,5200){$y$}\uput[r](0,5200){prix} \end{pspicture} \medskip \begin{enumerate} \item Laquelle de ces deux droites correspond au tarif A ? Justifier. \item Que représente l'abscisse du point de (d') d'ordonnée \nombre{2800} ? Donner sa valeur. Laisser apparaître les tracés utiles sur le graphique. \item Par lecture graphique et en faisant apparaître les tracés utiles. déterminer à partir de combien de billets le tarif 8 est plus avantageux que le tarif A. \end{enumerate} \begin{center}\textbf{Attention : toutes les feuilles du sujet sont à joindre à la copie} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie juin 2009 %%%%%%%%%%%%%%%% \end{document}