APMEP : 1923 - Certificat d’aptitude (E. S. des J. F.) 2e Partie-Sciences

Certificat d’aptitude (E. S. des J. F.) 2e Partie-Sciences

Mathématiques (4 heures)

Soient deux axes de coordonnées rectangulaires $Ox$ , $Oy$ , et deux points $A$ et $A'$ d’abscisses $\alpha$ et $-\alpha$ donnés sur $Ox$ .

1. Former l’équation générale des courbes du second degré $(C)$ admettant $Ox$ pour axe et les points $A$ et $A'$ pour sommet.

2. Chercher l’équation différentielle à laquelle satisfont les courbes $(C')$ ainsi définies : la tangente en chaque point d’une courbe $(C')$ est perpendiculaire à la tangente en ce point à la courbe $(C)$ qui y passe.

Intégrer cette équation différentielle. Indiquer la forme des courbes intégrales.

3. Les courbes $(C)$ et les droites passant par $O$ sont des courbes intégrales de l’équation différentiele

$(\alpha^2-x^2)y''-xy'+y=0$

Montrer que l’on rencontre cette équation différenteille en cherchant les courbes telles que l’on ait :

$\overline{MT}^2\cdot\overline{MT'}^2=\overline{MN}^2\cdot\overline{OH}^2$

$M$ désignant un point quelconque de l’une de ces courbes. $T$ et $T'$ les points d’inetrsection de la tangente en $M$ avec les droites d’équation $x-\alpha=0$ , $x+\alpha=0$ , $MN$ le rayon de courbure en $M$ , $H$ le pied de la perpendiculaire abaissée de $O$ sur la tangente en $M$ .

Intégrer les équations différentielles obtenues.

Construire celles des courbes intégrales qui passent par le point de $Oy$ d’ordonnée $\alpha$ et qui admettent en ce point une tangente parallèle à la bissectrice de l’angle $xOy$ .