APMEP : Olympiades 2009 - BESANCON

BESANCON - Exercice n° 1

Thème : ARITHMETIQUE

Série concernée : S

Enoncé
Promenade parmi les nombres
On part du nombre 5 et on s’autorise à utiliser deux opérateurs :

L’opérateur (M) « multiplier par 2 » : $n\mapsto 2 \times n$
L’opérateur (R) « retrancher 3 » : $n \mapsto n-3$ .

Un entier naturel $N$ est dit admissible s’il est possible, en partant de 5 et en n’utilisant que les deux opérateurs ci-dessus, de parvenir en un certain nombre d’étapes au nombre $N$ . Par exemple 25 est admissible par le chemin à cinq étapes :

$5 \stackrel{M}{\longrightarrow} 10 \stackrel{R}{\longrightarrow}7 \stackrel{M}{\longrightarrow} 14 \stackrel{M}{\longrightarrow} 28 \stackrel{R}{\longrightarrow}25$

On considérera par convention que 5 est admissible (chemin avec 0 étape)

Quels sont les entiers naturels admissibles en au plus 3 étapes ?
Montrer que 11, 13, 16 et 19 sont aussi admissibles.
Certains entiers naturels sont non admissibles : lesquels ? Justifier.
Montrer que 2 009 est admissible en présentant une méthode permettant de trouver le chemin menant de 5 à 2 009 (une telle méthode est aussi appelée algorithme).

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