APMEP : Olympiades 2009 - AMIENS

AMIENS - Exercice n° 1

Thème : ARITHMETIQUE, GEOMETRIE PLANE

Série concernée : S

ENONCE
Les oiseaux
Initialement, $n$ oiseaux se trouvent chacun au sommet d’un poteau, ces $n$ sommets formant un polygone régulier à $n$ côtés. Lorsqu’ils sont apeurés, ces oiseaux s’envolent. Puis après quelques temps, ils reviennent se poser sur les $n$ poteaux, mais pas nécessairement à leurs positions initiales.
Deux oiseaux ne peuvent pas se poser sur le même poteau.
On dit que $n$ oiseaux forment un groupe de « bons géomètres » lorsque, quelles que soient les positions avant et après l’envol, on peut trouver trois oiseaux (parmi les $n$ ) qui forment, avant et après l’envol, deux triangles

soit tous deux rectangles ;
soit tous deux acutangles (triangle dont les trois angles sont aigus).

Par exemple, pour $n = 3$ , on peut schématiser le problème de la façon suivante. Appelons A l’oiseau posé en A avant l’envol. Sa position une fois reposé sera notée A’.

Avant l’envol, les oiseaux A, B, C forment un triangle acutangle	\|	Après l’envol, les oiseaux peuvent se reposer selon plusieurs combinaisons, par exemple :
	\|
	\|	Dans tous les cas, le triangle A’B’C’ est acutangle.

Ainsi, 3 oiseaux forment un groupe de « bons géomètres ».
On rappelle que tous les polygones sont inscrits dans un cercle.

Vérifier que 4 oiseaux forment un groupe de « bons géomètres ».
Pour $n = 5$ , donner une position initiale et une position d’arrivée qui justifient que 5 oiseaux ne forment pas un groupe de « bons géomètres ».
Pour $n = 6$ , les sommets des poteaux forment un hexagone régulier.
Montrer qu’il existe toujours 3 oiseaux qui, avant et après l’envol, forment un triangle rectangle.
Que peut-on conclure quant au fait que 6 oiseaux forment ou non un groupe de « bons géomètres » ?
Montrer que si $n$ est pair, $n$ oiseaux forment nécessairement un groupe de « bons géomètres ».

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